2025 AMC 12B Problema 5

Question

Los enteros positivos

x

y

y

satisfacen la ecuación

57x + 22y = 400.

¿Cuál es el menor valor posible de

x + y

?

Positive integers

x

and

y

satisfy the equation

57x + 22y = 400.

What is the least possible value of

x + y?

10

11

13

14

15

Respuesta: E

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Reduce

57x + 22y = 400

módulo

22

para determinar

x

.

Reduce

57x + 22y = 400

modulo

22

to pin down

x

Pista grande:

Como

x

es positivo y

57x \lt 400,

solo son posibles unos pocos valores de

x

.

Since

x

is positive and

57x \lt 400,

only a few values of

x

are possible

Solución:

Módulo

22,

la ecuación da

13x \equiv 4,

así que

x \equiv 2 \pmod{22}.

Con

57x \lt 400,

la única opción es

x = 2,

lo que da

22y = 286,

por lo que

y = 13.

Entonces

x + y = 15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Modulo

22,

the equation gives

13x \equiv 4,

so

x \equiv 2 \pmod{22}.

With

57x \lt 400,

the only option is

x = 2,

which gives

22y = 286,

so

y = 13.

Then

x + y = 15.

Thus, the correct answer is E.