2025 AMC 12B Problema 14

Question

Considera una sucesión decreciente de

n

enteros positivos

x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n

que satisface las dos condiciones siguientes:

• El promedio (media aritmética) de los primeros

3

términos de la sucesión es

2025.

• Para todo

4 \le k \le n,

el promedio de los primeros

k

términos de la sucesión es

1

menos que el promedio de los primeros

k-1

términos de la sucesión.

¿Cuál es el mayor valor posible de

n

?

Consider a decreasing sequence of

n

positive integers

x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n

that satisfies the following two conditions:

• The average (arithmetic mean) of the first

3

terms in the sequence is

2025.

• For all

4 \le k \le n,

the average of the first

k

terms in the sequence is

1

less than the average of the first

k-1

terms in the sequence.

What is the greatest possible value of

n?

1013

1014

1016

2016

2025

Respuesta: B

Conceptos:media sucesión aritmética acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea

A_k

el promedio de los primeros

k

términos; la segunda condición da

A_k = 2028 - k

para

k \ge 3

.

Let

A_k

be the average of the first

k

terms; the second condition gives

A_k = 2028 - k

for

k \ge 3

Pista grande:

A partir de

S_k = k A_k

recupera

x_k = 2029 - 2k

para

k \ge 4,

y luego exige que cada término se mantenga positivo.

From

S_k = k A_k

recover

x_k = 2029 - 2k

for

k \ge 4,

then require every term to stay positive

Solución:

El promedio de los primeros

k

términos es

A_k = 2028 - k

para

k \ge 3,

así que la suma parcial es

S_k = k(2028 - k).

Para

k \ge 4,

x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,

que es positivo exactamente cuando

k \le 1014.

Un inicio válido como

x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022

mantiene toda la sucesión estrictamente decreciente, así que el mayor

n

posible es

1014.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The average of the first

k

terms is

A_k = 2028 - k

for

k \ge 3,

so the partial sum is

S_k = k(2028 - k).

For

k \ge 4,

x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,

which is positive exactly when

k \le 1014.

A valid start such as

x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022

keeps the whole sequence strictly decreasing, so the greatest possible

n

is

1014.

Thus, the correct answer is B.

2025 AMC 12B Problema 14

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años