2025 AMC 12B Problema 11

Question

Nueve atletas, no habiendo dos de la misma estatura, se presentan a las pruebas del equipo de baloncesto. Uno por uno, sacan al azar una muñequera, sin reemplazo, de una bolsa que contiene

3

muñequeras azules,

3

rojas y

3

verdes. Se dividen en un grupo azul, un grupo rojo y un grupo verde. Al miembro más alto de cada grupo se le nombra capitán del grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que los capitanes de grupo sean los tres atletas más altos?

Nine athletes, no two of whom are the same height, try out for the basketball team. One at a time, they draw a wristband at random, without replacement, from a bag containing

3

blue bands,

3

red bands, and

3

green bands. They are divided into a blue group, a red group, and a green group. The tallest member of each group is named the group captain. What is the probability that the group captains are the three tallest athletes?

\dfrac{2}{9}

\dfrac{2}{7}

\dfrac{9}{28}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{3}{8}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Los capitanes son los tres más altos exactamente cuando los tres más altos caen en tres grupos diferentes.

The captains are the three tallest exactly when the three tallest land in three different groups

Pista grande:

Coloca a los tres más altos uno por uno; cada uno debe evitar los grupos ya usados, cuyas plazas reducen el conjunto disponible.

Place the tallest three one at a time; each must avoid the groups already used, whose slots shrink the pool

Solución:

Cada grupo tiene

3

plazas. Los tres atletas más altos son los capitanes precisamente cuando caen en tres grupos diferentes. Al colocarlos uno por uno en las

9

plazas, el segundo debe evitar el grupo del primero (

6

de las

8

plazas restantes) y el tercero debe evitar ambos grupos usados (

3

de las

7

plazas restantes). La probabilidad es

\dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{28}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each group has

3

slots. The three tallest athletes are the captains precisely when they fall into three different groups. Placing them one at a time into the

9

slots, the second must avoid the first’s group (

6

of the remaining

8

slots) and the third must avoid both used groups (

3