2025 AMC 12A Problema 21

Question

Existe una única terna ordenada

(a, k, m)

de enteros no negativos tal que

\begin{aligned} &\small \frac{4^a + 4^{a+k} + 4^{a+2k} + \cdots + 4^{a+mk}}{2^a + 2^{a+k} + 2^{a+2k} + \cdots + 2^{a+mk}} \\ &= 964. \end{aligned}

¿Cuánto vale

a + k + m

?

There is a unique ordered triple

(a, k, m)

of nonnegative integers such that

\begin{aligned} &\small \frac{4^a + 4^{a+k} + 4^{a+2k} + \cdots + 4^{a+mk}}{2^a + 2^{a+k} + 2^{a+2k} + \cdots + 2^{a+mk}} \\ &= 964. \end{aligned}

What is

a + k + m?

8

9

10

11

12

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica exponente factorización

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Suma ambas series geométricas y usa

4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1)

Sum both geometric series and use

4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1)

Pista grande:

La fracción restante es impar sobre impar, así que comparar las potencias de

2

con

964=2^2\cdot241

obliga a que

a=2

The remaining fraction is odd over odd, so comparing powers of

2

with

964=2^2\cdot241

forces

a=2

Solución:

Si

k=0

o

m=0,

la razón original es simplemente

2^a,

que no puede ser

964.

Por tanto,

k,m\gt0.

Al sumar las series geométricas, el numerador es

4^a\dfrac{4^{k(m+1)} - 1}{4^k - 1}

y el denominador es

2^a\dfrac{2^{k(m+1)} - 1}{2^k - 1}.

Usando

4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1),

la razón se simplifica a

2^a \cdot \frac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 964.

La fracción de la izquierda es impar sobre impar, así que su potencia de

2

es

0.

Como

964=2^2\cdot241,

debemos tener

a=2,

y

2^{k(m+1)}+1=241(2^k+1).

Al reducir esta ecuación módulo

2^k

, vemos que

240

es divisible por

2^k,

así que

k\le4.

Para

k=1,2,3,

las potencias requeridas de

2

serían

722,1204,2168,

ninguna de las cuales es potencia de

2.

Para

k=4,

en cambio,

241(2^4+1)=4097=2^{12}+1,

así que

k(m+1)=12

y

m=2.

Esto también demuestra la unicidad.

Entonces

a + k + m = 2 + 4 + 2 = 8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If

k=0

or

m=0,

the original ratio is just

2^a,

which cannot equal

964.

Hence

k,m\gt0.

Summing the geometric series, the numerator is

4^a\dfrac{4^{k(m+1)} - 1}{4^k - 1}

and the denominator is

2^a\dfrac{2^{k(m+1)} - 1}{2^k - 1}.

Using

4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1),

the ratio simplifies to

2^a \cdot \frac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 964.

The fraction on the left is odd over odd, so its power of

2

is

0.

Since

964=2^2\cdot241,

we must have

a=2,

and

2^{k(m+1)}+1=241(2^k+1).

Reducing this equation modulo

2^k

shows that

240

is divisible by

2^k,

so

k\le4.

For

k=1,2,3,

the required powers of

2

would be

722,1204,2168,

none of which is a power of

2.

For

k=4,

however,

241(2^4+1)=4097=2^{12}+1,

so

k(m+1)=12

and

m=2.

This also proves uniqueness.

Then

a + k + m = 2 + 4 + 2 = 8.

Thus, the correct answer is A.