Question

Las medidas de los ángulos más pequeños de tres triángulos rectángulos diferentes suman $90^\circ.$ Los tres triángulos tienen longitudes de lado que son ternas pitagóricas primitivas. Dos de ellos son $3$ - $4$ - $5$ y $5$ - $12$ - $13.$ ¿Cuál es el perímetro del tercer triángulo?

The measures of the smallest angles of three different right triangles sum to $90^\circ.$ All three triangles have side lengths that are primitive Pythagorean triples. Two of them are $3$ - $4$ - $5$ and $5$ - $12$ - $13.$ What is the perimeter of the third triangle?

$40$

$126$

$154$

$176$

$208$

Respuesta: C

Conceptos:identidad trigonométrica Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 2130

Solución:

Los ángulos más pequeños $\alpha, \beta$ de los triángulos $3$ - $4$ - $5$ y $5$ - $12$ - $13$ tienen $\tan\alpha = \tfrac34$ y $\tan\beta = \tfrac{5}{12}.$ Por la fórmula de la tangente de la suma, $\begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}$

El tercer ángulo más pequeño $\gamma$ cumple $\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta),$ así que $\tan\gamma = \dfrac{33}{56}.$ El triángulo rectángulo con catetos $33$ y $56$ tiene hipotenusa $\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65,$ una terna primitiva. Su perímetro es $33 + 56 + 65 = 154.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The smallest angles $\alpha, \beta$ of the $3$ - $4$ - $5$ and $5$ - $12$ - $13$ triangles have $\tan\alpha = \tfrac34$ and $\tan\beta = \tfrac{5}{12}.$ By the tangent addition formula, $\begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}$

The third smallest angle $\gamma$ satisfies $\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta),$ so $\tan\gamma = \dfrac{33}{56}.$ The right triangle with legs $33$ and $56$ has hypotenuse $\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65,$ a primitive triple. Its perimeter is $33 + 56 + 65 = 154.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2130

Solución:

El Problema 21 en otros años