2023 AMC 12B Problema 20

Question

La rana Cyrus salta

2

unidades en una dirección, luego

2

más en otra dirección. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga a menos de

1

unidad de su posición inicial?

Cyrus the frog jumps

2

units in a direction, then

2

more in another direction. What is the probability that he lands less than

1

unit away from his starting position?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{\sqrt{3}}{8}

\dfrac{\arctan\tfrac12}{\pi}

\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad geométrica ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Fija el primer salto a lo largo del eje

x

; el segundo salto forma un ángulo

\theta

uniformemente aleatorio

Fix the first jump along the

x

-axis; the second jump makes a uniformly random angle

\theta

Pista grande:

La distancia de aterrizaje satisface

R^2=8+8\cos\theta;

exige

R\lt 1,

es decir,

\cos\theta\lt-\tfrac78

The landing distance satisfies

R^2=8+8\cos\theta;

require

R\lt 1,

i.e.

\cos\theta\lt-\tfrac78

Solución:

Toma el primer salto como

(2,0)

y el segundo como

(2\cos\theta,2\sin\theta)

con

\theta

uniforme en

[0,2\pi).

La distancia de aterrizaje satisface

R^2=(2+2\cos\theta)^2

+(2\sin\theta)^2

=8+8\cos\theta.

Necesitamos

R\lt 1,

es decir,

\cos\theta\lt-\tfrac78.

La medida de tales ángulos es

2\arccos\tfrac78,

así que la probabilidad es

\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}.

Usando

\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x

con

x=\tfrac14

se obtiene

\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14,

así que la probabilidad es

\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take the first jump as

(2,0)

and the second as

(2\cos\theta,2\sin\theta)

with

\theta

uniform on

[0,2\pi).

The landing distance satisfies

R^2=(2+2\cos\theta)^2

+(2\sin\theta)^2

=8+8\cos\theta.

We need

R\lt 1,

i.e.

\cos\theta\lt-\tfrac78.

The measure of such angles is

2\arccos\tfrac78,

so the probability is

\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}.

Using

\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x