2022 AMC 12B Problema 20

Question

Sea

P(x)

un polinomio con coeficientes racionales tal que, cuando

P(x)

se divide entre el polinomio

x^2 + x + 1,

el residuo es

x + 2,

y cuando

P(x)

se divide entre el polinomio

x^2 + 1,

el residuo es

2x + 1.

Existe un único polinomio de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?

Let

P(x)

be a polynomial with rational coefficients such that when

P(x)

is divided by the polynomial

x^2 + x + 1,

the remainder is

x + 2,

and when

P(x)

is divided by the polynomial

x^2 + 1,

the remainder is

2x + 1.

There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?

10

13

19

20

23

Respuesta: E

Conceptos:polinomio Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

El polinomio de menor grado es cúbico; escríbelo como

P(x) = x + 2

+ (x^2 + x + 1)(px + q)

.

The least-degree polynomial is a cubic; write

P(x) = x + 2

+ (x^2 + x + 1)(px + q)

Pista grande:

Reduce esa expresión módulo

x^2 + 1

usando

x^2 \equiv -1,

e iguálala a

2x + 1

.

Reduce that expression modulo

x^2 + 1

using

x^2 \equiv -1,

and match it to

2x + 1

Solución:

Ningún polinomio lineal puede tener los dos residuos distintos. Si

P(x)=ax^2+bx+c

fuera cuadrático, al comparar sus residuos se obtendrían simultáneamente

b-a=1,\ c-a=2

y

b=2,\ c-a=1,

una contradicción. Por tanto, el menor grado posible es

3.

Escribamos

P(x) = (x + 2)

+ (x^2 + x + 1)(px + q),

que tiene residuo

x + 2

al dividir entre

x^2 + x + 1.

Al reducir módulo

x^2 + 1

(de modo que

x^2 \equiv -1

) se obtiene el residuo

(q + 1)x + (2 - p).

Al igualarlo a

2x + 1

, se obtiene

q = 1

y

p = 1.

Entonces

P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3,

y la suma de los cuadrados de los coeficientes es

1 + 4 + 9 + 9 = 23.

Así, la respuesta correcta es E.

No linear polynomial can have the two different remainders. If

P(x)=ax^2+bx+c

were quadratic, comparing its remainders would give both

b-a=1,\ c-a=2

and

b=2,\ c-a=1,

a contradiction. Thus the least possible degree is

3.

Write

P(x) = (x + 2)

+ (x^2 + x + 1)(px + q),

which has remainder

x + 2

upon division by

x^2 + x + 1.

Reducing modulo

x^2 + 1

(so

x^2 \equiv -1

) gives remainder

(q + 1)x + (2 - p).

Setting this equal to

2x + 1

gives

q = 1

and

p = 1.

Then

P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3,

and the sum of the squares of the coefficients is

1 + 4 + 9 + 9 = 23.

Thus, the correct answer is E.