2022 AMC 12A Problema 15

Question

Las raíces del polinomio

10x^3-39x^2+29x-6

son la altura, el largo y el ancho de una caja rectangular (prisma rectangular recto). Se forma una nueva caja rectangular alargando cada arista de la caja original en

2

unidades. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?

The roots of the polynomial

10x^3-39x^2+29x-6

are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by

2

units. What is the volume of the new box?

\dfrac{24}{5}

\dfrac{42}{5}

\dfrac{81}{5}

30

48

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta volumen

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Por Vieta,

r+s+t=\dfrac{39}{10},

rs+rt+st=\dfrac{29}{10},

rst=\dfrac35

By Vieta,

r+s+t=\dfrac{39}{10},

rs+rt+st=\dfrac{29}{10},

rst=\dfrac35

Pista grande:

Desarrolla

(r+2)(s+2)(t+2)

usando estas sumas simétricas

Expand

(r+2)(s+2)(t+2)

using these symmetric sums

Solución:

Sean las raíces

r,s,t.

Por las fórmulas de Vieta,

r+s+t=\dfrac{39}{10},

rs+rt+st=\dfrac{29}{10},

y

rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.

El nuevo volumen es

\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the roots be

r,s,t.

By Vieta’s formulas,

r+s+t=\dfrac{39}{10},

rs+rt+st=\dfrac{29}{10},

and

rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.

The new volume is

\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.