2021 AMC 12B Fall Problema 20
Intenta el Problema 20 del 2021 AMC 12B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Fall, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
20.
Un cubo se construye con cubos unitarios blancos y cubos unitarios azules. ¿De cuántas maneras diferentes se puede construir el cubo usando estos cubos más pequeños? (Dos construcciones se consideran iguales si una se puede girar para coincidir con la otra.)
A cube is constructed from white unit cubes and blue unit cubes. How many different ways are there to construct the cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)
Respuesta: A
Pista pequeña:
Usa el lema de Burnside sobre las rotaciones del cubo que actúan sobre las posiciones de las esquinas.
Use Burnside’s lemma over the rotations of the cube acting on the corner positions
Pista grande:
Para cada tipo de rotación, cuenta las coloraciones con exactamente cubos azules que deja fijas.
For each rotation type, count the colorings with exactly blue cubes that it fixes
Solución:
Por el lema de Burnside, el conteo es el número promedio de coloraciones con azules que quedan fijas por cada una de las rotaciones que actúan sobre los cubitos.
La identidad deja fijas Los cuartos de vuelta de cara dejan fijas cada uno Las medias vueltas de cara dejan fijas cada una Las rotaciones de vértice dejan fijas cada una Las medias vueltas de arista dejan fijas cada una
El total es y
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
By Burnside’s lemma, the count is the average number of -blue colorings fixed by each of the rotations acting on the cubies.
The identity fixes The face quarter-turns fix each The face half-turns fix each The vertex rotations fix each The edge half-turns fix each
The total is and
Thus, the correct answer is A.
El Problema 20 en otros años
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