2021 AMC 12A Fall Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2021 AMC 12A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Sea

ABCD

un trapecio isósceles con

\overline{BC} \parallel \overline{AD}

y

AB = CD.

Los puntos

X

y

Y

están en la diagonal

\overline{AC}

con

X

entre

A

y

Y,

como se muestra en la figura. Supón que

\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,

AX = 3,

XY = 1,

y

YC = 2.

¿Cuál es el área de

ABCD

?

Let

ABCD

be an isosceles trapezoid with

\overline{BC} \parallel \overline{AD}

and

AB = CD.

Points

X

and

Y

lie on diagonal

\overline{AC}

with

X

between

A

and

Y,

as shown in the figure. Suppose

\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,

AX = 3,

XY = 1,

and

YC = 2.

What is the area of

ABCD?

15

5\sqrt{11}

3\sqrt{35}

18

7\sqrt{7}

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica trapecio fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Coloca

A, X, Y, C

en una recta horizontal con

AX = 3,

XY = 1,

YC = 2.

Entonces

D

está verticalmente debajo de

X

y

B

verticalmente arriba de

Y

Place

A, X, Y, C

on a horizontal line with

AX = 3,

XY = 1,

YC = 2.

Then

D

is vertically below

X

and

B

vertically above

Y

Pista grande:

Usa

\overline{BC}\parallel\overline{AD}

y

AB = CD

para relacionar las alturas de

B

y

D,

luego aplica la fórmula del cordón de zapato

Use

\overline{BC}\parallel\overline{AD}

and

AB = CD

to relate the heights of

B

and

D,

then apply the shoelace formula

Solución:

Pon

A = (0,0),

X = (3,0),

Y = (4,0),

C = (6,0).

Los ángulos rectos dan

D = (3, t)

y

B = (4, s)

en lados opuestos de

AC.

El paralelismo

\overline{AD}\parallel\overline{BC}

obliga a

t = -\tfrac{3}{2}s,

y

AB = CD

da

16 + s^2 = 9 + t^2,

así que

t^2 - s^2 = 7.

Sustituyendo se obtiene

s^2 = \tfrac{28}{5}.

La fórmula del cordón de zapato da área

= 3\,|t - s|

= 3\cdot\tfrac{5}{2}s

= \tfrac{15}{2}s

= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}

= 3\sqrt{35}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put

A = (0,0),

X = (3,0),

Y = (4,0),

C = (6,0).

The right angles give

D = (3, t)

and

B = (4, s)

on opposite sides of

AC.

Parallelism

\overline{AD}\parallel\overline{BC}

forces

t = -\tfrac{3}{2}s,

and

AB = CD

gives

16 + s^2 = 9 + t^2,

so

t^2 - s^2 = 7.

Substituting yields

s^2 = \tfrac{28}{5}.

The shoelace formula gives area

= 3\,|t - s|

= 3\cdot\tfrac{5}{2}s

= \tfrac{15}{2}s

= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}

= 3\sqrt{35}.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 21 en otros años