2021 AMC 12B Spring Problema 21

Question

Sea

S

la suma de todos los números reales positivos

x

para los cuales

x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Let

S

be the sum of all positive real numbers

x

for which

x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.

Which of the following statements is true?

S\lt\sqrt2

S=\sqrt2

\sqrt2\lt S\lt 2

2\le S\lt 6

S\ge 6

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Toma

\log_2

en ambos lados para obtener

2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}

Take

\log_2

of both sides to get

2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}

Pista grande:

x=\sqrt2

es una solución; analiza el signo de

2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x

para localizar la otra

x=\sqrt2

is one solution; analyze the sign of

2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x

to locate the other

Solución:

Tomando

\log_2,

la ecuación se convierte en

2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.

Sustituyendo

x=\sqrt2

da

2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},

lo que se cumple, así que

x=\sqrt2

es una solución.

Sea

f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.

Entonces

f(1)\gt 0,

f(\sqrt2)=0,

f(2)\lt 0,

y

f(4)\gt 0,

así que hay una segunda raíz

x_0

entre

2

y

4.

Para demostrar que no hay otras soluciones, divide la ecuación entre

2^x

y considera

h(x)=\frac{\ln x}{2^x}

para

x\gt1.

Su derivada tiene el signo de

\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),

una expresión estrictamente decreciente. Por tanto,

h

primero crece y luego decrece, de modo que una recta horizontal corta su gráfica a lo sumo dos veces. Las dos raíces ya halladas son todas las soluciones. Como

2\lt x_0\lt4,

se tiene

2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking

\log_2,

the equation becomes

2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.

Substituting

x=\sqrt2

gives

2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},

which holds, so

x=\sqrt2

is a solution.

Let

f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.

Then

f(1)\gt 0,

f(\sqrt2)=0,

f(2)\lt 0,

and

f(4)\gt 0,

so there is a second root

x_0

between

2

and

4.

To prove there are no others, divide the equation by

2^x

and consider

h(x)=\frac{\ln x}{2^x}

for

x\gt1.

Its derivative has the sign of

\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),

a strictly decreasing expression. Thus

h

increases once and then decreases, so a horizontal line meets its graph at most twice. The two roots already found are all the solutions. Since

2\lt x_0\lt4,

we have

2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.

Thus, the correct answer is D.