2020 AMC 12B Problema 20

Question

Dos cubos diferentes del mismo tamaño se van a pintar, eligiendo el color de cada cara de forma independiente y al azar entre negro o blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de pintarlos, los cubos puedan rotarse para verse idénticos?

Two different cubes of the same size are to be painted, with the color of each face being chosen independently and at random to be either black or white. What is the probability that after they are painted, the cubes can be rotated to be identical in appearance?

\dfrac{9}{64}

\dfrac{289}{2048}

\dfrac{73}{512}

\dfrac{147}{1024}

\dfrac{589}{4096}

Respuesta: D

Conceptos:Lema de Burnside análisis por casos

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La probabilidad es

\dfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2

, donde la suma recorre las clases de equivalencia por rotación

\mathcal O

de las coloraciones.

The probability equals

\dfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2

, where the sum is over rotation-equivalence classes

\mathcal O

of colorings

Pista grande:

Agrupa las coloraciones según el número de caras negras y halla el tamaño de órbita de cada clase (por ejemplo, dos caras negras: opuestas dan tamaño

3,

adyacentes dan tamaño

12

).

Group colorings by number of black faces and find each class’s orbit size (e.g. two black faces: opposite gives size

3,

adjacent gives size

12

)

Solución:

Para un primer cubo fijo, el número de segundos cubos que coinciden con él (salvo rotación) es igual al tamaño de su órbita de rotación. Así que la probabilidad buscada es

\tfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2.

Agrupando por número de caras negras, los tamaños de órbita son:

0

o

6

negras

\to 1;

1

o

5

negras

\to 6;

2

o

4

negras

\to 3

(opuestas) y

12

(adyacentes);

3

negras

\to 8

(vértice) y

12

(banda). Entonces

\begin{gathered} \sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2 \\ {}= 1 + 36 + (9 + 144) \\ \quad {}+ (64 + 144) + (9 + 144) \\ \quad {}+ 36 + 1 = 588. \end{gathered}

La probabilidad es

\tfrac{588}{4096} = \tfrac{147}{1024}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a fixed first cube, the number of second cubes matching it (up to rotation) equals the size of its rotation orbit. So the desired probability is

\tfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2.

Grouping by black-face count, the orbit sizes are:

0

or

6

black

\to 1;

1

or

5

black

\to 6;

2

or

4

black

\to 3

(opposite) and

12

(adjacent);

3

black

\to 8

(corner) and

12

(band). Then

\begin{gathered} \sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2 \\ {}= 1 + 36 + (9 + 144) \\ \quad {}+ (64 + 144) + (9 + 144) \\ \quad {}+ 36 + 1 = 588. \end{gathered}

The probability is

\tfrac{588}{4096} = \tfrac{147}{1024}.

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años