2020 AMC 12A Problema 21

Question

¿Cuántos enteros positivos

n

hay tales que

n

es múltiplo de

5,

y el mínimo común múltiplo de

5!

y

n

es igual a

5

veces el máximo común divisor de

10!

y

n

?

How many positive integers

n

are there such that

n

is a multiple of

5,

and the least common multiple of

5!

and

n

equals

5

times the greatest common divisor of

10!

and

n?

12

24

36

48

72

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

y

10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7;

compara los exponentes de cada primo

5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

and

10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7;

compare exponents of each prime

Pista grande:

Multiplicar el máximo común divisor por

5

aumenta en uno la potencia de

5

; determina el exponente permitido de cada primo en

n

Multiplying the gcd by

5

raises the power of

5

by one; work out the allowed exponent of each prime in

n

Solución:

Escribe

n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots.

Como

5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

no tiene otros primos,

n

solo puede involucrar

2, 3, 5, 7.

Igualando exponentes en

\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):

Para

2:

\max(3, a) = \min(8, a),

así que

3 \le a \le 8

da

6

valores. Para

3:

\max(1, b) = \min(4, b),

así que

1 \le b \le 4

da

4

valores.

Para

5:

\max(1, c) = 1 + \min(2, c)

con

c \ge 1,

lo que fuerza

c = 3,

dando

1

valor. Para

7:

\max(0, d) = \min(1, d),

así que

d = 0

o

1,

dando

2

valores.

El total es

6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Write

n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots.

Since

5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

has no other primes,

n

can only involve

2, 3, 5, 7.

Matching exponents in

\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):

For

2:

\max(3, a) = \min(8, a),

so

3 \le a \le 8

gives

6

values. For

3:

\max(1, b) = \min(4, b),

so

1 \le b \le 4

gives

4

values.

For

5:

\max(1, c) = 1 + \min(2, c)

with

c \ge 1,

which forces

c = 3,

giving

1

value. For

7:

\max(0, d) = \min(1, d),

so

d = 0

or

1,

giving

2

values.

The total is

6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años