2020 AMC 12A Problema 20

Question

Sea

T

el triángulo en el plano coordenado con vértices

(0, 0),

(4, 0),

y

(0, 3).

Considera las siguientes cinco isometrías (transformaciones rígidas) del plano: rotaciones de

90^\circ,

180^\circ,

y

270^\circ

en sentido antihorario alrededor del origen, la reflexión respecto al eje

x

, y la reflexión respecto al eje

y

. ¿Cuántas de las

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sucesiones de tres de estas transformaciones (no necesariamente distintas) devolverán

T

a su posición original? (Por ejemplo, una rotación de

180^\circ

, seguida de una reflexión respecto al eje

x

, seguida de una reflexión respecto al eje

y

, devolverá

T

a su posición original, pero una rotación de

90^\circ

, seguida de una reflexión respecto al eje

x

, seguida de otra reflexión respecto al eje

x

, no devolverá

T

a su posición original.)

Let

T

be the triangle in the coordinate plane with vertices

(0, 0),

(4, 0),

and

(0, 3).

Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of

90^\circ,

180^\circ,

and

270^\circ

counterclockwise around the origin, reflection across the

x

-axis, and reflection across the

y

-axis. How many of the

125

sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return

T

to its original position? (For example, a

180^\circ

rotation, followed by a reflection across the

x

-axis, followed by a reflection across the

y

-axis will return

T

to its original position, but a

90^\circ

rotation, followed by a reflection across the

x

-axis, followed by another reflection across the

x

-axis will not return

T

to its original position.)

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Respuesta: A

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como

T

es escaleno, la única isometría que fija

T

es la identidad, así que las tres deben componer la identidad

Since

T

is scalene, the only isometry fixing

T

is the identity, so the three must compose to the identity

Pista grande:

La tercera transformación queda determinada por las dos primeras; se permite exactamente cuando el producto de las dos primeras es de nuevo una de las cinco aplicaciones

The third transformation is forced by the first two; it is allowed exactly when the product of the first two is again one of the five maps

Solución:

Como

T

es un triángulo rectángulo escaleno, la única isometría que lleva

T

a sí mismo es la identidad, así que una sucesión funciona exactamente cuando las tres transformaciones se componen en la identidad.

Sea

r

la rotación de

90^\circ

y

s

la reflexión respecto del eje

x

. Las cinco aplicaciones permitidas son

r,r^2,r^3,s,r^2s;

las aplicaciones no idénticas ausentes son las reflexiones diagonales

rs,r^3s.

En una terna ordenada, la tercera aplicación queda determinada por las dos primeras y está permitida exactamente cuando su producto es una de las cinco.

Exactamente

5

pares ordenados tienen producto identidad: cada primera aplicación se empareja con su inversa. Una reflexión diagonal requiere una rotación y una reflexión axial;

r

o

r^3

puede emparejarse a cualquiera de los dos lados con

s

o

r^2s,

lo que da

2\cdot2\cdot2=8

pares. Los

25-5-8=12

pares restantes dan sucesiones válidas.

Así, A es la respuesta correcta.

Because

T

is a scalene right triangle, the only isometry carrying

T

to itself is the identity, so a sequence works exactly when the three transformations compose to the identity.

Let

r

be the

90^\circ

rotation and

s

reflection across the

x

-axis. The five allowed maps are

r,r^2,r^3,s,r^2s;

the missing nonidentity maps are the diagonal reflections

rs,r^3s.

In an ordered triple, the third map is forced by the first two and is allowed precisely when their product is one of the five.

Exactly

5

ordered pairs have product identity: each first map is paired with its inverse. A diagonal reflection requires one rotation and one axis reflection;

r

or

r^3

may be paired on either side with

s

or

r^2s,

giving

2\cdot2\cdot2=8

pairs. The remaining

25-5-8=12

ordered pairs give valid sequences.

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años