2019 AMC 12A Problema 20

Question

Se eligen números reales entre

0

y

1,

inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es

0

si el segundo lanzamiento es cara y

1

si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado

[0, 1].

Dos números aleatorios

x

y

y

se eligen independientemente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que

|x - y| \gt \dfrac{1}{2}

?

Real numbers between

0

and

1,

inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is

0

if the second flip is heads and

1

if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval

[0, 1].

Two random numbers

x

and

y

are chosen independently in this manner. What is the probability that

|x - y| \gt \dfrac{1}{2}?

\dfrac{1}{3}

\dfrac{7}{16}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{9}{16}

\dfrac{2}{3}

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Cada número es

0

con probabilidad

\tfrac14,

1

con probabilidad

\tfrac14,

y uniforme en

[0,1]

con probabilidad

\tfrac12

Each number is

0

with probability

\tfrac14,

1

with probability

\tfrac14,

and uniform on

[0,1]

with probability

\tfrac12

Pista grande:

Divide en las nueve combinaciones de tipos; para dos uniformes,

P\!\left(|x - y| \gt \tfrac12\right) = \tfrac14

Split into the nine type-combinations; for two uniforms,

P\!\left(|x - y| \gt \tfrac12\right) = \tfrac14

Solución:

Cada variable es igual a

0

con probabilidad

\tfrac14,

es igual a

1

con probabilidad

\tfrac14,

y es uniforme en

[0, 1]

con probabilidad

\tfrac12.

Considerando las nueve combinaciones de tipos: los pares

(0, 1)

y

(1, 0)

contribuyen cada uno

\tfrac{1}{16}.

Cada uno de los cuatro casos de punto contra uniforme contribuye

\tfrac{1}{16}.

El caso de uniforme contra uniforme contribuye

\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.

El total es

\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each variable equals

0

with probability

\tfrac14,

equals

1

with probability

\tfrac14,

and is uniform on

[0, 1]

with probability

\tfrac12.

Considering the nine combinations of types: the pairs

(0, 1)

and

(1, 0)

each contribute

\tfrac{1}{16}.

Each of the four point-versus-uniform cases contributes

\tfrac{1}{16}.

The uniform-versus-uniform case contributes

\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.

The total is

\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.

Thus, the correct answer is B.

2019 AMC 12A Problema 20

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años