2019 AMC 12A Problema 18

Question

Una esfera con centro

O

tiene radio

6.

Un triángulo con lados de longitud

15,

15,

y

24

está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre

O

y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center

O

has radius

6.

A triangle with sides of length

15,

15,

and

24

is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between

O

and the plane determined by the triangle?

2\sqrt{3}

4

3\sqrt{2}

2\sqrt{5}

5

Respuesta: D

Conceptos:esfera circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

La esfera corta el plano en un círculo tangente a los tres lados, así que ese círculo es el incírculo

The sphere meets the plane in a circle tangent to all three sides, so that circle is the incircle

Pista grande:

Si

d

es la distancia, el círculo de corte tiene radio

\sqrt{36 - d^2},

que es igual al inradio

If

d

is the distance, the cross-circle has radius

\sqrt{36 - d^2},

which equals the inradius

Solución:

La esfera interseca el plano del triángulo en un círculo de radio

\sqrt{36 - d^2},

donde

d

es la distancia de

O

al plano. Como cada lado es tangente a la esfera, este círculo es el incírculo del triángulo.

El triángulo tiene área

\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108

y semiperímetro

27,

así que su inradio es

\dfrac{108}{27} = 4.

Así

\sqrt{36 - d^2} = 4,

lo que da

d^2 = 20

y

d = 2\sqrt{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sphere intersects the triangle’s plane in a circle of radius

\sqrt{36 - d^2},

where

d

is the distance from

O

to the plane. Since each side is tangent to the sphere, this circle is the triangle’s incircle.

The triangle has area

\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108

and semiperimeter

27,

so its inradius is

\dfrac{108}{27} = 4.

Thus

\sqrt{36 - d^2} = 4,

giving

d^2 = 20

and

d = 2\sqrt{5}.

Thus, the correct answer is D.