2017 AMC 12B Problema 21

Question

El año pasado Isabella hizo

7

exámenes de matemáticas y obtuvo

7

puntajes diferentes, cada uno un entero entre

91

y

100,

inclusive. Después de cada examen notó que el promedio de sus puntajes era un entero. Su puntaje en el séptimo examen fue

95.

¿Cuál fue su puntaje en el sexto examen?

Last year Isabella took

7

math tests and received

7

different scores, each an integer between

91

and

100,

inclusive. After each test she noticed that the average of her test scores was an integer. Her score on the seventh test was

95.

What was her score on the sixth test?

92

94

96

98

100

Respuesta: E

Conceptos:divisibilidad media acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La suma

S

de los

7

puntajes es un múltiplo de

7

y está entre

658

y

679

The sum

S

of all

7

scores is a multiple of

7

and lies between

658

and

679

Pista grande:

Además

S - 95

es un múltiplo de

6;

entonces los primeros

5

puntajes suman un múltiplo de

5,

lo que fija el residuo del sexto puntaje

Also

S - 95

is a multiple of

6;

then the first

5

scores sum to a multiple of

5,

forcing the sixth score’s residue

Solución:

Sea

S

la suma de los siete puntajes. Entonces

S

es un múltiplo de

7

con

658 \le S \le 679,

así que

S \in \{658, 665, 672, 679\}.

Como el promedio después de seis exámenes es un entero,

S - 95

es un múltiplo de

6,

lo que obliga a

S = 665.

Entonces los primeros seis puntajes suman

570,

un múltiplo de

5;

el promedio después de cinco exámenes es un entero, así que los primeros cinco puntajes también suman un múltiplo de

5,

lo que hace que el sexto puntaje sea un múltiplo de

5.

Como todos los puntajes son distintos y el séptimo es

95,

el sexto debe ser

100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

S

be the sum of all seven scores. Then

S

is a multiple of

7

with

658 \le S \le 679,

so

S \in \{658, 665, 672, 679\}.

Since the average after six tests is an integer,

S - 95

is a multiple of

6,

which forces

S = 665.

Then the first six scores sum to

570,

a multiple of

5;

the average after five tests is an integer, so the first five scores also sum to a multiple of

5,

making the sixth score a multiple of

5.

Since all scores differ and the seventh is

95,

the sixth must be

100.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años