2017 AMC 12A Problema 21

Question

Un conjunto

S

se construye como sigue. Para empezar,

S=\{0,10\}.

Repetidamente, mientras sea posible, si

x

es una raíz entera de algún polinomio

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}

+\cdots+a_1x+a_0

para algún

n\ge1,

cuyos coeficientes

a_i

son todos elementos de

S,

entonces

x

se agrega a

S.

Cuando ya no se pueden agregar más elementos a

S,

¿cuántos elementos tiene

S

?

A set

S

is constructed as follows. To begin,

S=\{0,10\}.

Repeatedly, as long as possible, if

x

is an integer root of some polynomial

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}

+\cdots+a_1x+a_0

for some

n\ge1,

all of whose coefficients

a_i

are elements of

S,

then

x

is put into

S.

When no more elements can be added to

S,

how many elements does

S

have?

4

5

7

9

11

Respuesta: D

Conceptos:polinomio divisibilidad enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Por el teorema de la raíz racional, cualquier raíz entera de un polinomio con coeficientes en

S

divide a su término constante

By the Rational Root Theorem, any integer root of a polynomial with coefficients in

S

divides its constant term

Pista grande:

Partiendo de

\{0,10\},

llega a

\pm1,\pm2,\pm5,\pm10;

muestra que nada más puede entrar

Starting from

\{0,10\},

reach

\pm1,\pm2,\pm5,\pm10;

show nothing else can enter

Solución:

Usando

10x+10,

la raíz

-1

entra en

S.

Luego

1

entra como raíz de

-x^{10}-x^9-\cdots-x+10,

y

-10

entra a partir de

x+10.

Ahora

x^3+x-10

tiene raíz

2,

y

x+2

da

-2;

después,

2x-10

y

2x+10

dan

\pm5.

En este punto,

S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.

No puede aparecer ningún otro entero. Por inducción, todo miembro no nulo de

S

divide a

10.

Si un polinomio usado en la regla tiene término constante

0,

extraemos la mayor potencia posible de

x;

cualquier raíz no nula es entonces raíz de un polinomio cuyo término constante es el primer coeficiente no nulo del original. El teorema de la raíz racional muestra que la raíz divide a ese coeficiente, que por la hipótesis inductiva divide a

10.

Así,

S

tiene

9

elementos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using

10x+10,

the root

-1

enters

S.

Then

1

enters as a root of

-x^{10}-x^9-\cdots-x+10,

and

-10

enters from

x+10.

Now

x^3+x-10

has root

2,

and

x+2

gives

-2;

then

2x-10

and

2x+10

give

\pm5.

At this point

S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.

No further integer can appear. Inductively, every nonzero member of

S

divides

10.

If a polynomial used in the rule has constant term

0,

factor out the largest possible power of

x;

any nonzero root is then a root of a polynomial whose constant term is the first nonzero original coefficient. The Rational Root Theorem shows that the root divides this coefficient, which by the inductive hypothesis divides

10.

So

S

has

9

elements.

Thus, the correct answer is D.