2017 AMC 12A Problema 20

Question

¿Cuántos pares ordenados

(a,b)

tales que

a

es un número real positivo y

b

es un entero entre

2

y

200,

inclusive, satisfacen la ecuación

(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})

?

How many ordered pairs

(a,b)

such that

a

is a positive real number and

b

is an integer between

2

and

200,

inclusive, satisfy the equation

(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})?

198

199

398

399

597

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo conteo básico

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea

u=\log_b a;

la ecuación se convierte en

u^{2017}=2017u

Let

u=\log_b a;

the equation becomes

u^{2017}=2017u

Pista grande:

O bien

u=0

o bien

u^{2016}=2017;

cuenta los valores de

a

para cada una de las

199

bases permitidas

Either

u=0

or

u^{2016}=2017;

count the

a

values for each of the

199

allowed bases

Solución:

Sea

u=\log_b a.

Como

\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,

la ecuación es

u^{2017}=2017u,

así que

u=0

o

u^{2016}=2017.

Si

u=0,

entonces

a=1,

válido para cada una de las

199

bases. Si

u^{2016}=2017,

entonces

u=\pm2017^{\frac{1}{2016}},

lo que da

2

valores de

a

para cada base, es decir,

2\cdot199=398

pares.

En total hay

199+398=597

pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

u=\log_b a.

Since

\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,

the equation is

u^{2017}=2017u,

so

u=0

or

u^{2016}=2017.

If

u=0,

then

a=1,

valid for every one of the

199

bases. If

u^{2016}=2017,

then

u=\pm2017^{\frac{1}{2016}},

giving

2

values of

a

for each base, i.e.

2\cdot199=398

pairs.

In total there are

199+398=597

ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.