2015 AMC 12A Problema 20

Question

Los triángulos isósceles

T

y

T'

no son congruentes pero tienen la misma área y el mismo perímetro. Los lados de

T

miden

5,

5,

y

8,

mientras que los de

T'

miden

a,

a,

y

b.

¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a

b

?

Isosceles triangles

T

and

T'

are not congruent but have the same area and the same perimeter. The sides of

T

have lengths

5,

5,

and

8,

while those of

T'

have lengths

a,

a,

and

b.

Which of the following numbers is closest to

b?

3

4

5

6

8

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles sistema de ecuaciones polinomio

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

T

tiene perímetro

18

y área

12;

escribe esas mismas dos condiciones para

T'

T

has perimeter

18

and area

12;

write those same two conditions for

T'

Pista grande:

Elimina

a

usando

2a + b = 18;

llegas a una cúbica con la raíz extraña

b = 8

que se puede factorizar

Eliminate

a

using

2a + b = 18;

you reach a cubic with the extraneous root

b = 8

to factor out

Solución:

La altura de

T

sobre su base de longitud

8

es

\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,

así que

T

tiene área

\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12

y perímetro

18.

Para

T'

necesitamos

2a + b = 18

y área

\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.

Sustituyendo

a = \dfrac{18 - b}{2}

y elevando al cuadrado se llega a

(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.

Como

T

y

T'

no son congruentes,

b \ne 8,

así que

b^2 - b - 8 = 0

y

b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.

Como

25 \lt 33 \lt 36,

esto está entre

3

y

3.5,

así que el entero más cercano es

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The altitude of

T

to its base of length

8

is

\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,

so

T

has area

\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12

and perimeter

18.

For

T'

we need

2a + b = 18

and area

\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.

Substituting

a = \dfrac{18 - b}{2}

and squaring leads to

(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.

Since

T

and

T'

are not congruent,

b \ne 8,

so

b^2 - b - 8 = 0

and

b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.

Because

25 \lt 33 \lt 36,

this is between

3

and

3.5,

so the closest integer is

3.

Thus, the correct answer is A.