2014 AMC 12B Problema 20

Question

¿Para cuántos enteros positivos

x

se cumple

\log_{10}(x - 40)

+ \log_{10}(60 - x) \lt 2

?

For how many positive integers

x

is

\log_{10}(x - 40)

+ \log_{10}(60 - x) \lt 2?

10

18

19

20

infinitos

infinitely many

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Ambos logaritmos requieren

40 \lt x \lt 60

.

Both logarithms require

40 \lt x \lt 60

Pista grande:

Combinando se obtiene

(x-40)(60-x) \lt 100,

que equivale a

(x-50)^2 \gt 0

.

Combining gives

(x-40)(60-x) \lt 100,

which is

(x-50)^2 \gt 0

Solución:

Los logaritmos están definidos solo cuando

x - 40 \gt 0

y

60 - x \gt 0,

así que

40 \lt x \lt 60.

Dentro de este rango la desigualdad se convierte en

(x-40)(60-x) \lt 100,

que se desarrolla como

x^2 - 100x + 2500 \gt 0,

es decir

(x-50)^2 \gt 0.

Esto se cumple para todo

x \ne 50.

Los enteros estrictamente entre

40

y

60

excepto

50

son

41, \ldots, 49

y

51, \ldots, 59,

lo que son

18

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The logarithms are defined only when

x - 40 \gt 0

and

60 - x \gt 0,

so

40 \lt x \lt 60.

Within this range the inequality becomes

(x-40)(60-x) \lt 100,

which expands to

x^2 - 100x + 2500 \gt 0,

i.e.

(x-50)^2 \gt 0.

This holds for every

x \ne 50.

The integers strictly between

40

and

60

except

50

are

41, \ldots, 49

and

51, \ldots, 59,