2014 AMC 12B Problema 14

Question

Una caja rectangular tiene un área superficial total de

94

pulgadas cuadradas. La suma de las longitudes de todas sus aristas es

48

pulgadas. ¿Cuál es la suma, en pulgadas, de las longitudes de todas sus diagonales interiores?

A rectangular box has a total surface area of

94

square inches. The sum of the lengths of all its edges is

48

inches. What is the sum of the lengths in inches of all of its interior diagonals?

8\sqrt{3}

10\sqrt{2}

16\sqrt{3}

20\sqrt{2}

40\sqrt{2}

Sean las aristas

x, y, z,

de modo que

2(xy+yz+zx)=94

y

4(x+y+z)=48

.

Let the edges be

x, y, z,

so

2(xy+yz+zx)=94

and

4(x+y+z)=48

Usa

(x+y+z)^2 =

x^2+y^2+z^2

+ 2(xy+yz+zx)

para hallar cada diagonal

\sqrt{x^2+y^2+z^2}

.

Use

(x+y+z)^2 =

x^2+y^2+z^2

+ 2(xy+yz+zx)

to find each diagonal

\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Sean las aristas

x, y, z.

Entonces

xy+yz+zx = 47

y

x+y+z = 12.

Por lo tanto

\begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}

Cada una de las

4

diagonales interiores tiene longitud

\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2,

así que su longitud total es

4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the edges be

x, y, z.

Then

xy+yz+zx = 47

and

x+y+z = 12.

Therefore

\begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}

Each of the

4

interior diagonals has length

\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2,

so their total length is

4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 14 en otros años