2013 AMC 12B Problema 14

Question

Dos sucesiones no decrecientes de enteros no negativos tienen primeros términos diferentes. Cada sucesión tiene la propiedad de que cada término a partir del tercero es la suma de los dos términos anteriores, y el séptimo término de cada sucesión es

N.

¿Cuál es el menor valor posible de

N

?

Two non-decreasing sequences of nonnegative integers have different first terms. Each sequence has the property that each term beginning with the third is the sum of the previous two terms, and the seventh term of each sequence is

N.

What is the smallest possible value of

N?

55

89

104

144

273

Respuesta: C

Conceptos:Fibonacci Ecuación diofántica máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

En términos de los dos primeros términos

a_1, a_2,

el séptimo término es igual a

5a_1 + 8a_2

.

In terms of the first two terms

a_1, a_2,

the seventh term equals

5a_1 + 8a_2

Pista grande:

Igualar los dos séptimos términos da

5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2);

como

5

y

8

son coprimos, se obliga a que

b_1 - a_1

sea múltiplo de

8

.

Setting the two seventh terms equal gives

5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2);

coprimality of

5

and

8

forces

b_1 - a_1

to be a multiple of

8

Solución:

Una sucesión que empieza con

a_1, a_2

tiene séptimo término

5a_1 + 8a_2.

Para las dos sucesiones,

5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2,

así que

5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2).

Como

\gcd(5, 8) = 1,

necesitamos que

b_1 - a_1

sea múltiplo de

8

y que

a_2 - b_2

sea múltiplo de

5.

Tomando

a_1 \lt b_1

con términos no decrecientes se obtiene

a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13.

Eligiendo

a_1 = 0,

b_1 = b_2 = 8,

a_2 = 13

resulta

N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A sequence starting

a_1, a_2

has seventh term

5a_1 + 8a_2.

For the two sequences,

5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2,

so

5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2).

Since

\gcd(5, 8) = 1,

we need

b_1 - a_1

to be a multiple of

8

and

a_2 - b_2

to be a multiple of

5.

Taking

a_1 \lt b_1

with nondecreasing terms gives

a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13.

Choosing

a_1 = 0,

b_1 = b_2 = 8,

a_2 = 13

yields

N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104.

Thus, the correct answer is C.

2013 AMC 12B Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años