2011 AMC 12B Problema 20

Question

El triángulo

ABC

tiene

AB=13,

BC=14,

y

AC=15.

Los puntos

D,

E,

y

F

son los puntos medios de

AB,

BC,

y

AC

respectivamente. Sea

X\ne E

la intersección de las circunferencias circunscritas de

\triangle BDE

y

\triangle CEF.

¿Cuánto vale

XA+XB+XC

?

Triangle

ABC

has

AB=13,

BC=14,

and

AC=15.

The points

D,

E,

and

F

are the midpoints of

AB,

BC,

and

AC

respectively. Let

X\ne E

be the intersection of the circumcircles of

\triangle BDE

and

\triangle CEF.

What is

XA+XB+XC?

24

14\sqrt{3}

\dfrac{195}{8}

\dfrac{129\sqrt{7}}{14}

\dfrac{69\sqrt{2}}{4}

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ángulo inscrito Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Usa los segmentos medios paralelos y el Teorema del Ángulo Inscrito para mostrar que

X

es equidistante de

A,

B,

C

.

Use the parallel midsegments and the Inscribed Angle Theorem to show

X

is equidistant from

A,

B,

C

Pista grande:

X

es el circuncentro, así que

XA+XB+XC=3R

donde

R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}

.

X

is the circumcenter, so

XA+XB+XC=3R

where

R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}

Solución:

Como

DE\parallel AC

y

EF\parallel AB,

obtenemos

\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC.

Por el teorema del ángulo inscrito,

\angle BXE=\angle BDE

y

\angle EXC=\angle EFC,

de modo que

\angle BXE=\angle EXC.

Junto con

BE=EC,

esto obliga a que

XB=XC.

Además,

\angle BXC=2\angle BAC.

La fórmula de la cuerda en

\triangle BXC

da

BC=2XB\sin(\angle BAC),

mientras que la misma fórmula en

\triangle ABC

da

BC=2R\sin(\angle BAC).

Por tanto,

XB=XC=R.

El punto de este lado de

BC

que está a distancia

R

de

B

y de

C

es el circuncentro de

\triangle ABC,

así que

XA=XB=XC=R.

El área del triángulo

13

-

14

-

15

es

84

por la fórmula de Herón, por lo que

R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8},

y

XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

DE\parallel AC

and

EF\parallel AB,

we get

\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC.

By the Inscribed Angle Theorem,

\angle BXE=\angle BDE

and

\angle EXC=\angle EFC,

so

\angle BXE=\angle EXC.

With

BE=EC,

this forces

XB=XC.

Also

\angle BXC=2\angle BAC.

The chord formula in

\triangle BXC

gives

BC=2XB\sin(\angle BAC),

while the same formula in

\triangle ABC

gives

BC=2R\sin(\angle BAC).

Thus

XB=XC=R.

The point at distance

R

from both

B

and

C

on this side of

BC

is the circumcenter of

\triangle ABC,

so

XA=XB=XC=R.

The area of the

13

-

14

-

15

triangle is

84

by Heron’s formula, so

R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8},

and

XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.

Thus, the correct answer is C.