2010 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2010 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Una sucesión geométrica

(a_n)

tiene

a_1=\sin x,

a_2=\cos x,

y

a_3=\tan x

para algún número real

x.

¿Para qué valor de

n

se cumple

a_n=1+\cos x

?

A geometric sequence

(a_n)

has

a_1=\sin x,

a_2=\cos x,

and

a_3=\tan x

for some real number

x.

For what value of

n

does

a_n=1+\cos x?

4

5

6

7

8

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

La razón común es

r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x;

calcula

a_4=a_3\cdot r

The common ratio is

r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x;

compute

a_4=a_3\cdot r

Pista grande:

Muestra que

a_4=1

y

1+\cos x=r^4,

luego escribe

1+\cos x

como

a_4\cdot r^4

Show

a_4=1

and

1+\cos x=r^4,

then write

1+\cos x

as

a_4\cdot r^4

Solución:

La razón común es

r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.

Entonces

a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.

De

a_3=a_1r^2,

obtenemos

\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},

así que

\sin^2 x=\cos^3 x,

es decir

(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.

Por lo tanto

1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.

También

r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},

así que

r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.

Por lo tanto

1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,

así que

n=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The common ratio is

r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.

Then

a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.

From

a_3=a_1r^2,

we get

\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},

so

\sin^2 x=\cos^3 x,

i.e.

(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.

Hence

1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.

Also

r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},

so

r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.

Therefore

1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,

so

n=8.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 20 en otros años