2009 AMC 12B Problema 14

Question

Cinco cuadrados unitarios están dispuestos en el plano coordenado como se muestra, con la esquina inferior izquierda en el origen. La recta inclinada, que va de

(a, 0)

a

(3, 3),

divide toda la región en dos regiones de igual área. ¿Cuánto vale

a

?

Five unit squares are arranged in the coordinate plane as shown, with the lower left corner at the origin. The slanted line, extending from

(a, 0)

to

(3, 3),

divides the entire region into two regions of equal area. What is

a?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{4}{5}

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas geometría analítica

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

El área total es

5,

así que cada región debe ser

\dfrac{5}{2}

.

The total area is

5,

so each region must be

\dfrac{5}{2}

Pista grande:

La región del lado inferior derecho de la recta es un triángulo de base

3 - a

y altura

3,

menos un cuadrado unitario.

The region on the lower-right side of the line is a triangle of base

3 - a

and height

3,

minus one unit square

Solución:

Los cinco cuadrados tienen área total

5,

así que cada región debe tener área

\dfrac{5}{2}.

La recta de

(a, 0)

a

(3, 3)

junto con los ejes delimita un triángulo de base

3 - a

y altura

3

; la región del lado inferior derecho de la recta es este triángulo al que se le quita un cuadrado unitario. Al plantear

\dfrac{3(3 - a)}{2} - 1 = \dfrac{5}{2}

se obtiene

3(3 - a) = 7,

así que

a = \dfrac{2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five squares have total area

5,

so each region must have area

\dfrac{5}{2}.

The line from

(a, 0)

to

(3, 3)

together with the axes bounds a triangle of base

3 - a

and height

3

; the region on the lower-right side of the line is this triangle with one unit square removed. Setting

\dfrac{3(3 - a)}{2} - 1 = \dfrac{5}{2}

gives

3(3 - a) = 7,

so

a = \dfrac{2}{3}.

Thus, the correct answer is C.