2009 AMC 12B Problema 11

Question

El lunes, Millie pone en un comedero para pájaros un cuarto de galón de semillas, de las cuales el

25\%

es mijo. Cada día siguiente añade otro cuarto de galón de la misma mezcla de semillas sin retirar las semillas que quedan. Cada día los pájaros comen solo el

25\%

del mijo del comedero, pero se comen todas las demás semillas. ¿En qué día, justo después de que Millie haya puesto las semillas, encontrarán los pájaros que más de la mitad de las semillas del comedero es mijo?

On Monday, Millie puts a quart of seeds,

25\%

of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only

25\%

of the millet in the feeder, but they eat all of the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica recursión desigualdad

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Cada mañana permanece

\tfrac{3}{4}

del mijo anterior y se añade

\tfrac{1}{4}

de cuarto de galón de mijo nuevo, mientras que las demás semillas siempre suman

\tfrac{3}{4}

de cuarto de galón.

Each morning

\tfrac{3}{4}

of the previous millet remains and

\tfrac{1}{4}

quart of new millet is added, while the other seeds always total

\tfrac{3}{4}

quart

Pista grande:

Después de

n

días el mijo es

1 - \left(\tfrac{3}{4}\right)^n

de cuarto de galón; exige que esto supere

\tfrac{3}{4}

.

After

n

days the millet is

1 - \left(\tfrac{3}{4}\right)^n

quart; require this to exceed

\tfrac{3}{4}

Solución:

Cada día los pájaros dejan

\dfrac{3}{4}

del mijo y Millie añade

\dfrac{1}{4}

de cuarto de galón de mijo nuevo, así que después de

n

días el mijo es

\begin{aligned} &\dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{3}{4} + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\right) \\ &= 1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \end{aligned}

de cuarto de galón.

Las semillas que no son mijo siempre suman

\dfrac{3}{4}

de cuarto de galón, así que el mijo supera la mitad cuando

1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \gt \dfrac{3}{4},

es decir,

\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \lt \dfrac{1}{4}.

Como

\left(\dfrac{3}{4}\right)^4 = \dfrac{81}{256} \gt \dfrac{1}{4}

y

\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 = \dfrac{243}{1024} \lt \dfrac{1}{4},

esto ocurre por primera vez el día

5,

que es viernes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each day the birds leave

\dfrac{3}{4}

of the millet and Millie adds

\dfrac{1}{4}

quart of new millet, so after

n

days the millet is

\begin{aligned} &\dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{3}{4} + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\right) \\ &= 1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \end{aligned}

quart.

The non-millet seeds always total

\dfrac{3}{4}

quart, so millet exceeds half when

1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \gt \dfrac{3}{4},

that is,

\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \lt \dfrac{1}{4}.

Since

\left(\dfrac{3}{4}\right)^4 = \dfrac{81}{256} \gt \dfrac{1}{4}

and

\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 = \dfrac{243}{1024} \lt \dfrac{1}{4},

this first happens on day

5,

which is Friday.

Thus, the correct answer is D.