2009 AMC 12A Problema 5

Question

Una dimensión de un cubo se aumenta en

1,

otra se disminuye en

1,

y la tercera se deja sin cambios. El volumen del nuevo sólido rectangular es

5

menos que el del cubo. ¿Cuál era el volumen del cubo?

One dimension of a cube is increased by

1,

another is decreased by

1,

and the third is left unchanged. The volume of the new rectangular solid is

5

less than that of the cube. What was the volume of the cube?

8

27

64

125

216

Sea

x

la longitud del lado del cubo y escribe el nuevo volumen como un producto.

Let the cube have side length

x

and write the new volume as a product

El nuevo sólido tiene volumen

x(x+1)(x-1) = x^3 - x

.

The new solid has volume

x(x+1)(x-1) = x^3 - x

El lado del cubo mide

x.

El nuevo sólido tiene dimensiones

x + 1,

x - 1,

y

x,

así que su volumen es

x(x+1)(x-1) = x^3 - x.

Igualando esto a

x^3 - 5

se obtiene

x^3 - x = x^3 - 5,

así que

x = 5.

El volumen del cubo es

5^3 = 125.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the cube have side length

x.

The new solid has dimensions

x + 1,

x - 1,

and

x,

so its volume is

x(x+1)(x-1) = x^3 - x.

Setting this equal to

x^3 - 5

gives

x^3 - x = x^3 - 5,

so

x = 5.

The cube’s volume is

5^3 = 125.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 5 en otros años