2008 AMC 12A Problema 5

Question

Supongamos que

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}

es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera acerca de

x

?

Suppose that

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}

is an integer. Which of the following statements must be true about

x?

Es negativo.

It is negative.

Es par, pero no necesariamente un múltiplo de

3.

It is even, but not necessarily a multiple of

3.

Es un múltiplo de

3,

pero no necesariamente par.

It is a multiple of

3,

but not necessarily even.

Es un múltiplo de

6,

pero no necesariamente un múltiplo de

12.

It is a multiple of

6,

but not necessarily a multiple of

12.

Es un múltiplo de

12.

It is a multiple of

12.

Respuesta: B

Conceptos:manipulación algebraica paridad

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Combina las dos fracciones sobre un común denominador.

Combine the two fractions over a common denominator

Pista grande:

Simplifica hasta

\dfrac{x}{2},

y luego decide qué condición de divisibilidad hace que esto sea un entero.

Simplify to

\dfrac{x}{2},

then decide what divisibility condition makes this an integer

Solución:

Combinando las fracciones,

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.

Esto es un entero exactamente cuando

x

es par. El ejemplo

x = 4

es par pero no un múltiplo de

3,

lo que descarta toda otra afirmación.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Combining the fractions,

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.

This is an integer exactly when

x

is even. The example

x = 4

is even but not a multiple of

3,

which rules out every other statement.

Thus, B is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 5

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años