Question

Supongamos que es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera acerca de $x$ ? $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$

Suppose that $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$ is an integer. Which of the following statements must be true about $x?$

Es negativo.

It is negative.

Es par, pero no necesariamente un múltiplo de $3.$

It is even, but not necessarily a multiple of $3.$

Es un múltiplo de $3,$ pero no necesariamente par.

It is a multiple of $3,$ but not necessarily even.

Es un múltiplo de $6,$ pero no necesariamente un múltiplo de $12.$

It is a multiple of $6,$ but not necessarily a multiple of $12.$

Es un múltiplo de $12.$

It is a multiple of $12.$

Combinando las fracciones, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

Esto es un entero exactamente cuando $x$ es par. El ejemplo $x = 4$ es par pero no un múltiplo de $3,$ lo que descarta toda otra afirmación.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Combining the fractions, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

This is an integer exactly when $x$ is even. The example $x = 4$ is even but not a multiple of $3,$ which rules out every other statement.

Thus, B is the correct answer.