2007 AMC 12B Problema 21

Question

Los primeros

2007

enteros positivos se escriben cada uno en base

3.

¿Cuántas de estas representaciones en base

3

son capicúas? (Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.)

The first

2007

positive integers are each written in base

3.

How many of these base-

3

representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)

100

101

102

103

104

Respuesta: A

Conceptos:base numérica palíndromo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Cuenta los capicúas en base

3

según su número de dígitos; nota que

3^6=729\lt2007\lt2187=3^7

.

Count base-

3

palindromes by their number of digits; note

3^6=729\lt2007\lt2187=3^7

Pista grande:

Suma todos los capicúas con hasta

7

dígitos, luego quita los de

7

dígitos que exceden

2007=2202100_3

.

Total all palindromes with up to

7

digits, then remove the

7

-digit ones exceeding

2007=2202100_3

Solución:

Un capicúa queda determinado por su primera mitad. Contando los capicúas en base

3

por longitud se obtienen

2

de longitud

1

o

2,

6

de longitud

3

o

4,

18

de longitud

5

o

6,

y

54

de longitud

7.

Eso suma

2+2+6+6+18+18

+54=106

capicúas con a lo sumo

7

dígitos. Como

2007=2202100_3,

los capicúas de

7

dígitos mayores que él son

2210122,

2211122,

2212122,

2220222,

2221222,

y

2222222,

que son

6

de ellos.

Por lo tanto, el conteo es

106-6=100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A palindrome is fixed by its first half. Counting base-

3

palindromes by length gives

2

of length

1

or

2,

6

of length

3

or

4,

18

of length

5

or

6,

and

54

of length

7.

That totals

2+2+6+6+18+18

+54=106

palindromes with at most

7

digits. Since

2007=2202100_3,

the

7

-digit palindromes larger than it are

2210122,

2211122,

2212122,

2220222,

2221222,

and

2222222,

which is

6

of them.

Therefore the count is

106-6=100.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años