2007 AMC 12B Problema 14

Question

El punto

P

está dentro del

\triangle ABC

equilátero. Los puntos

Q,

R,

y

S

son los pies de las perpendiculares desde

P

a

\overline{AB},

\overline{BC},

y

\overline{CA},

respectivamente. Dado que

PQ=1,

PR=2,

y

PS=3,

¿cuánto vale

AB

?

Point

P

is inside equilateral

\triangle ABC.

Points

Q,

R,

and

S

are the feet of the perpendiculars from

P

to

\overline{AB},

\overline{BC},

and

\overline{CA},

respectively. Given that

PQ=1,

PR=2,

and

PS=3,

what is

AB?

4

3\sqrt{3}

6

4\sqrt{3}

9

Respuesta: D

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Divide el

\triangle ABC

en

\triangle PAB,

\triangle PBC,

\triangle PCA,

usando las perpendiculares como alturas.

Split

\triangle ABC

into

\triangle PAB,

\triangle PBC,

\triangle PCA,

using the perpendiculars as heights

Pista grande:

Sus áreas suman

\tfrac12 s(1+2+3),

que también es igual a

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

.

Their areas sum to

\tfrac12 s(1+2+3),

which also equals

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

Solución:

Sea

s=AB.

Unir

P

con los vértices divide el triángulo en

\triangle PAB,

\triangle PBC

y

\triangle PCA,

con áreas

\tfrac{s}{2},

s

y

\tfrac{3s}{2}.

Su total es

3s,

que debe ser igual al área

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

del triángulo equilátero. Así que

3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,

lo que da

s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

s=AB.

Joining

P

to the vertices splits the triangle into

\triangle PAB,

\triangle PBC,

and

\triangle PCA,

with areas

\tfrac{s}{2},

s,

and

\tfrac{3s}{2}.

Their total is

3s,

which must equal the area

\tfrac{\sqrt3}{4}s^2

of the equilateral triangle. So

3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,

giving

s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

Thus, the correct answer is D.