Question

El punto $P$ está dentro del $\triangle ABC.$ equilátero. Los puntos $Q,$ $R,$ y $S$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ y $\overline{CA},$ respectivamente. Dado que $PQ=1,$ $PR=2,$ y $PS=3,$ ¿cuánto vale $AB$ ?

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q,$ $R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ=1,$ $PR=2,$ and $PS=3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt{3}$

$6$

$4\sqrt{3}$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1680

Solución:

Sea $s=AB.$ Unir $P$ con los vértices divide el triángulo en $\triangle PAB,$ $\triangle PBC,$ y $\triangle PCA,$ con áreas $\tfrac{s}{2},$ $s,$ y $\tfrac{3s}{2}.$

Su total es $3s,$ que debe ser igual al área $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ del triángulo equilátero. Así que lo que da $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$ $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $s=AB.$ Joining $P$ to the vertices splits the triangle into $\triangle PAB,$ $\triangle PBC,$ and $\triangle PCA,$ with areas $\tfrac{s}{2},$ $s,$ and $\tfrac{3s}{2}.$

Their total is $3s,$ which must equal the area $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ of the equilateral triangle. So $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,$ giving $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1680

Solución:

El Problema 14 en otros años