2006 AMC 12B Problema 15

Question

Dos círculos con centros

O

y

P

tienen radios

2

y

4,

respectivamente, y son tangentes exteriormente. Los puntos

A

y

B

están sobre el círculo centrado en

O,

y los puntos

C

y

D

están sobre el círculo centrado en

P,

de modo que

AD

y

BC

son tangentes exteriores comunes a los círculos. ¿Cuál es el área del hexágono

AOBCPD

?

Circles with centers

O

and

P

have radii

2

and

4,

respectively, and are externally tangent. Points

A

and

B

are on the circle centered at

O,

and points

C

and

D

are on the circle centered at

P,

such that

AD

and

BC

are common external tangents to the circles. What is the area of hexagon

AOBCPD?

18\sqrt{3}

24\sqrt{2}

36

24\sqrt{3}

32\sqrt{2}

Respuesta: B

Conceptos:circunferencias tangentes trapecio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Los centros están a

OP = 2 + 4 = 6

de distancia, y los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares a la tangente.

The centers are

OP = 2 + 4 = 6

apart, and the radii to the tangent points are perpendicular to the tangent

Pista grande:

AOPD

es un trapecio rectángulo; halla su lado oblicuo con el teorema de Pitágoras, y luego duplica el área.

AOPD

is a right trapezoid; find its slant side with the Pythagorean theorem, then double the area

Solución:

Los círculos son tangentes exteriormente, así que

OP = 2 + 4 = 6.

En el cuadrilátero

AOPD,

tanto

OA = 2

como

PD = 4

son perpendiculares a la recta tangente

AD,

lo que lo convierte en un trapecio rectángulo.

Al trazar por

O

la recta paralela a

AD

se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa

OP = 6

y un cateto

PD - OA = 2,

así que

AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2.

El trapecio

AOPD

tiene área

\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2.

Por simetría, el hexágono

AOBCPD

está formado por dos de estos trapecios, así que su área es

2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The circles are externally tangent, so

OP = 2 + 4 = 6.

In quadrilateral

AOPD,

both

OA = 2

and

PD = 4

are perpendicular to the tangent line

AD,

making it a right trapezoid.

Drawing the line through

O

parallel to

AD

creates a right triangle with hypotenuse

OP = 6

and one leg

PD - OA = 2,

so

AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2.

The trapezoid

AOPD

has area

\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2.

By symmetry the hexagon

AOBCPD

is made of two such trapezoids, so its area is

2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.