2005 AMC 12B Problema 21

Question

Un entero positivo

n

tiene

60

divisores y

7n

tiene

80

divisores. ¿Cuál es el mayor entero

k

tal que

7^k

divide a

n

?

A positive integer

n

has

60

divisors and

7n

has

80

divisors. What is the greatest integer

k

such that

7^k

divides

n?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Escribe

n = 7^k Q

con

Q

no divisible por

7

; sea

d

el número de divisores de

Q

.

Write

n = 7^k Q

with

Q

not divisible by

7

; let

d

be the number of divisors of

Q

Pista grande:

Entonces

n

tiene

(k+1)d

divisores y

7n

tiene

(k+2)d

divisores.

Then

n

has

(k+1)d

divisors and

7n

has

(k+2)d

divisors

Solución:

Escribe

n = 7^k Q

donde

Q

no es divisible por

7,

y sea

d

el número de divisores de

Q.

Entonces

n

tiene

(k + 1)d = 60

divisores y

7n = 7^{k+1}Q

tiene

(k + 2)d = 80

divisores.

Dividiendo,

\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43,

así que

3(k + 2) = 4(k + 1),

lo que da

k = 2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write

n = 7^k Q

where

Q

is not divisible by

7,

and let

d

be the number of divisors of

Q.

Then

n

has

(k + 1)d = 60

divisors and

7n = 7^{k+1}Q

has

(k + 2)d = 80

divisors.

Dividing,

\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43,

so

3(k + 2) = 4(k + 1),

giving

k = 2.

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12B Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años