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2003 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2003 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Un objeto se mueve 88 cm en línea recta de AA a B,B, gira un ángulo α,\alpha, medido en radianes y elegido al azar del intervalo (0,π),(0, \pi), y se mueve 55 cm en línea recta hasta C.C. ¿Cuál es la probabilidad de que AC<7AC \lt 7?
An object moves 88 cm in a straight line from AA to B,B, turns at an angle α,\alpha, measured in radians and chosen at random from the interval (0,π),(0, \pi), and moves 55 cm in a straight line to C.C. What is the probability that AC<7?AC \lt 7?
16\dfrac{1}{6}
15\dfrac{1}{5}
14\dfrac{1}{4}
13\dfrac{1}{3}
12\dfrac{1}{2}
Respuesta: D
Conceptos:ley de los cosenosprobabilidad geométricatrigonometría
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Sea β=π−α\beta = \pi - \alpha el ángulo interior en B;B; aplica la ley de los cosenos al △ABC\triangle ABC
Let β=π−α\beta = \pi - \alpha be the interior angle at B;B; apply the Law of Cosines to △ABC\triangle ABC
Pista grande:
AC2=89−80cos⁡β,AC^2 = 89 - 80\cos\beta, así que AC<7AC \lt 7 equivale a cos⁡β>12\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}
AC2=89−80cos⁡β,AC^2 = 89 - 80\cos\beta, so AC<7AC \lt 7 is equivalent to cos⁡β>12\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}
Solución:
Sea β=π−α\beta = \pi - \alpha el ángulo interior del △ABC\triangle ABC en B.B. Por la ley de los cosenos, AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β. \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}
Entonces AC<7AC \lt 7 significa 89−80cos⁡β<49,89 - 80\cos\beta \lt 49, es decir cos⁡β>12,\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}, es decir β<π3.\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.
Como α\alpha es uniforme en (0,π),(0, \pi), también lo es β.\beta. La probabilidad es π3π=13. \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let β=π−α\beta = \pi - \alpha be the interior angle of △ABC\triangle ABC at B.B. By the Law of Cosines, AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β. \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}
Then AC<7AC \lt 7 means 89−80cos⁡β<49,89 - 80\cos\beta \lt 49, i.e. cos⁡β>12,\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}, i.e. β<π3.\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.
As α\alpha is uniform on (0,π),(0, \pi), so is β.\beta. The probability is π3π=13. \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}.
Thus, the correct answer is D.

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