Question

Un objeto se mueve $8$ cm en línea recta de $A$ a $B,$ gira un ángulo $\alpha,$ medido en radianes y elegido al azar del intervalo $(0, \pi),$ y se mueve $5$ cm en línea recta hasta $C.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $AC \lt 7$ ?

An object moves $8$ cm in a straight line from $A$ to $B,$ turns at an angle $\alpha,$ measured in radians and chosen at random from the interval $(0, \pi),$ and moves $5$ cm in a straight line to $C.$ What is the probability that $AC \lt 7?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:ley de los cosenos probabilidad geométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Sea $\beta = \pi - \alpha$ el ángulo interior del $\triangle ABC$ en $B.$ Por la ley de los cosenos, $\begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}$

Entonces $AC \lt 7$ significa $89 - 80\cos\beta \lt 49,$ es decir $\cos\beta \gt \dfrac{1}{2},$ es decir $\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.$

Como $\alpha$ es uniforme en $(0, \pi),$ también lo es $\beta.$ La probabilidad es $\frac{\pi/3}{\pi} = \frac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\beta = \pi - \alpha$ be the interior angle of $\triangle ABC$ at $B.$ By the Law of Cosines, $\begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}$

Then $AC \lt 7$ means $89 - 80\cos\beta \lt 49,$ i.e. $\cos\beta \gt \dfrac{1}{2},$ i.e. $\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.$

As $\alpha$ is uniform on $(0, \pi),$ so is $\beta.$ The probability is $\frac{\pi/3}{\pi} = \frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

El Problema 21 en otros años