2003 AMC 12B Problema 14

Question

En el rectángulo

ABCD,

AB = 5

y

BC = 3.

Los puntos

F

y

G

están en

\overline{CD}

de modo que

DF = 1

y

GC = 2.

Las rectas

AF

y

BG

se cortan en

E.

Halla el área de

\triangle AEB.

In rectangle

ABCD,

AB = 5

and

BC = 3.

Points

F

and

G

are on

\overline{CD}

so that

DF = 1

and

GC = 2.

Lines

AF

and

BG

intersect at

E.

Find the area of

\triangle AEB.

10

\dfrac{21}{2}

12

\dfrac{25}{2}

15

Respuesta: D

Conceptos:semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

FG = 5 - 1 - 2 = 2,

y

\triangle FEG

es semejante a

\triangle AEB

FG = 5 - 1 - 2 = 2,

and

\triangle FEG

is similar to

\triangle AEB

Pista grande:

Sea la distancia de

E

a la recta

CD

igual a

k;

la distancia a

AB

es

k + 3,

con razón

\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}

Let the distance from

E

to line

CD

be

k;

the distance to

AB

is

k + 3,

with ratio

\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}

Solución:

Como

FG = 5 - 1 - 2 = 2

y

\overline{FG} \parallel \overline{AB},

los triángulos

FEG

y

AEB

son semejantes con razón

\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.

Sea

k

la distancia de

E

a la recta

CD.

Entonces la distancia de

E

a

AB

es

k + 3,

y

\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},

lo que da

k = 2.

La altura de

\triangle AEB

es

k + 3 = 5,

así que su área es

\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

FG = 5 - 1 - 2 = 2

and

\overline{FG} \parallel \overline{AB},

triangles

FEG

and

AEB

are similar with ratio

\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.

Let the distance from

E

to line

CD

be

k.

Then the distance from

E

to

AB

is

k + 3,

and

\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},

giving

k = 2.

The height of

\triangle AEB

is

k + 3 = 5,

so its area is

\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.

Thus, the correct answer is D.