2002 AMC 12B Problema 21

Question

Para todo entero positivo

n

menor que

2002,

sea

a_n=\begin{cases} 11, & \text{si } n \text{ es divisible por } 13 \text{ y } 14;\\ 13, & \text{si } n \text{ es divisible por } 14 \text{ y } 11;\\ 14, & \text{si } n \text{ es divisible por } 11 \text{ y } 13;\\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases}

Calcula

\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.

For all positive integers

n

less than

2002,

let

a_n=\begin{cases} 11, & \text{if } n \text{ is divisible by } 13 \text{ and } 14;\\ 13, & \text{if } n \text{ is divisible by } 14 \text{ and } 11;\\ 14, & \text{if } n \text{ is divisible by } 11 \text{ and } 13;\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

Calculate

\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.

448

486

1560

2001

2002

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad mínimo común múltiplo múltiplo

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Como

11,

13,

14

son coprimos dos a dos, «divisible entre dos de ellos» significa divisible entre su producto.

Because

11,

13,

14

are pairwise coprime, “divisible by two of them” means divisible by their product

Pista grande:

Cuenta los múltiplos de

182,

154,

143

por debajo de

2002

; ningún número menor que

2002

es divisible entre los tres.

Count multiples of

182,

154,

143

below

2002

; no number under

2002

is divisible by all three

Solución:

Como

2002=11\cdot13\cdot14

con

11,

13,

14

coprimos dos a dos,

a_n=11

cuando

n

es múltiplo de

182,

a_n=13

cuando

n

es múltiplo de

154,

y

a_n=14

cuando

n

es múltiplo de

143

(y ningún

n\lt2002

es divisible entre los tres).

Para

n\le2001

hay

10

múltiplos de

182,

12

de

154,

y

13

de

143.

Así que la suma es

\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

2002=11\cdot13\cdot14

with

11,

13,

14

pairwise coprime,

a_n=11

when

n

is divisible by

182,

a_n=13

when

n

is divisible by

154,

and

a_n=14

when

n

is divisible by

143

(and no

n\lt2002

is divisible by all three).

For

n\le2001

there are

10

multiples of

182,

12

of

154,

and

13

of

143.

So the sum is

\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 12B Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años