2002 AMC 12B Problema 20

Question

Sea

\triangle XOY

un triángulo rectángulo con

m\angle XOY=90^\circ.

Sean

M

y

N

los puntos medios de los catetos

OX

y

OY,

respectivamente. Dado que

XN=19

y

YM=22,

halla

XY.

Let

\triangle XOY

be a right-angled triangle with

m\angle XOY=90^\circ.

Let

M

and

N

be the midpoints of legs

OX

and

OY,

respectively. Given that

XN=19

and

YM=22,

find

XY.

24

26

28

30

32

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo mediana (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea

OM=a,

ON=b

; entonces

19^2=(2a)^2+b^2

y

22^2=a^2+(2b)^2

.

Let

OM=a,

ON=b

; then

19^2=(2a)^2+b^2

and

22^2=a^2+(2b)^2

Pista grande:

Suma las ecuaciones para obtener

5(a^2+b^2)

; observa que

XY=2\sqrt{a^2+b^2}

.

Add the equations to get

5(a^2+b^2)

; note that

XY=2\sqrt{a^2+b^2}

Solución:

Sea

OM=a

y

ON=b.

Como

M,N

son puntos medios,

XN^2=(2a)^2+b^2=361

y

YM^2=a^2+(2b)^2=484.

Al sumar,

5(a^2+b^2)=845,

así que

a^2+b^2=169.

Entonces

MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,

y como

MN

es el segmento medio que une

M

y

N,

tenemos

XY=2\,MN=26.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

OM=a

and

ON=b.

Since

M,N

are midpoints,

XN^2=(2a)^2+b^2=361

and

YM^2=a^2+(2b)^2=484.

Adding,

5(a^2+b^2)=845,

so

a^2+b^2=169.

Then

MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,

and since

MN

is the midsegment joining

M

and

N,

we have

XY=2\,MN=26.

Thus, the correct answer is B.