Question

Suponga que $a$ y $b$ son dígitos, no ambos nueve y no ambos cero, y el decimal periódico $0.\overline{ab}$ se expresa como una fracción en su mínima expresión. ¿Cuántos denominadores diferentes son posibles?

Suppose that $a$ and $b$ are digits, not both nine and not both zero, and the repeating decimal $0.\overline{ab}$ is expressed as a fraction in lowest terms. How many different denominators are possible?

$3$

$4$

$5$

$8$

$9$

Respuesta: C

Conceptos:decimal periódico factor

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Como $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},$ el denominador reducido divide a $99 = 3^2\cdot 11.$ Sus divisores son $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

El denominador $1$ exigiría $\overline{ab} = 99,$ es decir, $a = b = 9,$ lo cual está excluido. Los demás se alcanzan: los numeradores $33, 11, 9, 3,$ y $1$ se reducen a los denominadores $3, 9, 11, 33,$ y $99,$ respectivamente. Así, hay $5$ denominadores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},$ the reduced denominator divides $99 = 3^2\cdot 11.$ The divisors are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

The denominator $1$ would require $\overline{ab} = 99,$ i.e. $a = b = 9,$ which is excluded. Each is achievable: numerators $33, 11, 9, 3,$ and $1$ reduce to denominators $3, 9, 11, 33,$ and $99,$ respectively. Thus there are $5$ possible denominators.

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

El Problema 20 en otros años