2001 AMC 12 Problema 5

Question

¿Cuál es el producto de todos los enteros positivos impares menores que

10{,}000

?

What is the product of all positive odd integers less than

10{,}000?

\dfrac{10000!}{(5000!)^2}

\dfrac{10000!}{2^{5000}}

\dfrac{9999!}{2^{5000}}

\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}

\dfrac{5000!}{2^{5000}}

El producto de todos los números impares es igual a

10000!

dividido entre el producto de todos los números pares hasta

10000

The product of all odd numbers equals

10000!

divided by the product of all even numbers up to

10000

Los números pares son

2 \cdot 4 \cdots 10000

= 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000)

The even numbers are

2 \cdot 4 \cdots 10000

= 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000)

El producto de todos los enteros de

1

a

10000

es

10000!,

así que el producto de los impares es

10000!

dividido entre el producto de los pares.

Los números pares se factorizan como

\begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}

En consecuencia, el producto de los enteros impares es

\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The product of every integer from

1

to

10000

is

10000!,

so the product of the odd ones is

10000!

divided by the product of the even ones.

The even numbers factor as

\begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}

Therefore the product of the odd integers is

\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 5 en otros años