2000 AMC 12 Problema 14

Question

Cuando la media, la mediana y la moda de la lista

10, 2, 5, 2, 4, 2, x

se ordenan de manera creciente, forman una progresión aritmética no constante. ¿Cuál es la suma de todos los valores reales posibles de

x

?

When the mean, median, and mode of the list

10, 2, 5, 2, 4, 2, x

are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of

x?

3

6

9

17

20

Respuesta: E

Conceptos:media mediana (datos)moda análisis por casos

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

La moda es

2,

y la media es

\dfrac{25 + x}{7}

.

The mode is

2,

and the mean is

\dfrac{25 + x}{7}

Pista grande:

Divide en casos según dónde caiga

x

respecto a los otros números, y exige que la progresión sea no constante.

Split into cases by where

x

falls relative to the other numbers, and require a non-constant progression

Solución:

Los seis números fijos suman

25,

así que la media es

\dfrac{25 + x}{7},

y la moda es

2.

Si

x \le 2,

entonces

2

es a la vez mediana y moda, lo que obliga a una progresión constante, así que

x \gt 2.

Caso $2 \lt x \lt 4$ : la mediana es

x.

Exigir que

2, x, \dfrac{25 + x}{7}

formen una progresión aritmética da

x = 3

como el único valor en este rango.

Caso $x \ge 4$ : la mediana es

4,

y la progresión

2, 4, 6

obliga a que la media sea

6,

así que

\dfrac{25 + x}{7} = 6,

dando

x = 17.

La suma de todos los valores posibles es

3 + 17 = 20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The six fixed numbers sum to

25,

so the mean is

\dfrac{25 + x}{7},

and the mode is

2.

If

x \le 2,

then

2

is both median and mode, forcing a constant progression, so

x \gt 2.

Case $2 \lt x \lt 4$ : the median is

x.

Requiring

2, x, \dfrac{25 + x}{7}

to form an arithmetic progression yields

x = 3

as the only value in this range.

Case $x \ge 4$ : the median is

4,

and the progression

2, 4, 6

forces the mean to be

6,

so

\dfrac{25 + x}{7} = 6,

giving

x = 17.

The sum of all possible values is

3 + 17 = 20.

Thus, the correct answer is E.