2000 AMC 12 Problema 11

Question

Dos números reales no nulos,

a

y

b,

satisfacen

ab = a - b.

Halla un valor posible de

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.

Two non-zero real numbers,

a

and

b,

satisfy

ab = a - b.

Find a possible value of

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.

-2

-\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

2

Combina sobre un denominador común:

\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}

.

Combine over a common denominator:

\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}

Sustituye

ab

por

a - b

en el numerador y desarrolla.

Replace

ab

with

a - b

in the numerator and expand

Al combinar sobre un denominador común,

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.

Al sustituir

ab

por

a - b

en el numerador,

\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}

Por lo tanto, la expresión es igual a

\dfrac{2ab}{ab} = 2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Combining over a common denominator,

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.

Replacing

ab

with

a - b

in the numerator,

\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}

Therefore the expression equals

\dfrac{2ab}{ab} = 2.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 11 en otros años