1998 AMC 12 Problema 20

Question

Hay tres tarjetas boca abajo sobre una mesa, cada una con un entero positivo escrito. Casey, Stacy y Tracy saben que

(a) los números son todos distintos,

(b) suman

13,

y

(c) están en orden creciente de izquierda a derecha.

Primero, Casey mira el número de la tarjeta izquierda y dice: “No tengo información suficiente para determinar los otros dos números”. Después, Tracy mira el número de la tarjeta derecha y dice: “No tengo información suficiente para determinar los otros dos números”. Por último, Stacy mira el número de la tarjeta central y dice: “No tengo información suficiente para determinar los otros dos números”. Supón que cada persona sabe que las otras dos razonan perfectamente y oye sus comentarios. ¿Qué número está en la tarjeta central?

Three cards, each with a positive integer written on it, are lying face-down on a table. Casey, Stacy, and Tracy are told that

(a) the numbers are all different,

(b) they sum to

13,

and

(c) they are in increasing order, left to right.

First, Casey looks at the number on the leftmost card and says, “I don’t have enough information to determine the other two numbers.” Then Tracy looks at the number on the rightmost card and says, “I don’t have enough information to determine the other two numbers.” Finally, Stacy looks at the number on the middle card and says, “I don’t have enough information to determine the other two numbers.” Assume that each person knows that the other two reason perfectly and hears their comments. What number is on the middle card?

2

3

4

5

No hay información suficiente para determinar el número.

There is not enough information to determine the number.

Respuesta: C

Conceptos:logic ordered triples

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Enumera todas las ternas crecientes de enteros positivos con suma

13

List all increasing positive triples with sum

13

Pista grande:

Elimina ternas en el orden de las tres afirmaciones, usando lo que cada persona ya ha aprendido

Eliminate triples in the order of the three statements, using what each speaker has learned

Solución:

Las ocho ternas son

\begin{gathered} (1,2,10),(1,3,9),\\ (1,4,8),(1,5,7),\\ (2,3,8),(2,4,7),\\ (2,5,6),(3,4,6). \end{gathered}

La afirmación de Casey excluye

(3,4,6).

Sabiendo esto, la afirmación de Tracy excluye los valores derechos

10,9,

y

6.

Las ternas restantes son

(1,4,8),(2,3,8)

y

(1,5,7),(2,4,7).

Un valor central de

3

o

5

identificaría ahora la terna, así que la afirmación de Stacy obliga a que el valor central sea

4.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The eight triples are

\begin{gathered} (1,2,10),(1,3,9),\\ (1,4,8),(1,5,7),\\ (2,3,8),(2,4,7),\\ (2,5,6),(3,4,6). \end{gathered}

Casey’s statement excludes

(3,4,6).

With that known, Tracy’s statement excludes rightmost values

10,9,

and

6.

The remaining triples are

(1,4,8),(2,3,8)

and

(1,5,7),(2,4,7).

A middle value

3

or

5

would now identify the triple, so Stacy’s statement forces the middle value

4.

Thus C is correct.