1995 AMC 12 Problema 21

Question

Dos vértices no adyacentes de un rectángulo son

(4,3)

y

(-4,-3),

y las coordenadas de los otros dos vértices son enteras. El número de tales rectángulos es

Two nonadjacent vertices of a rectangle are

(4,3)

and

(-4,-3),

and the coordinates of the other two vertices are integers. The number of such rectangles is

1

2

3

4

5

Las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud y el mismo punto medio

A rectangle’s diagonals have equal length and the same midpoint

Enumera los vectores enteros de longitud

5

desde el origen e identifica los pares antipodales

Enumerate integer vectors of length

5

from the origin, identifying antipodal pairs

La diagonal dada tiene punto medio

(0,0)

y semilongitud

5.

Por tanto, la otra diagonal debe tener extremos

(u,v)

y

(-u,-v)

con

u^2+v^2=25.

Recíprocamente, dos diagonales iguales con el mismo punto medio forman un rectángulo. Hay

12

puntos enteros en esta circunferencia:

\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3). \end{gathered}

Los puntos antipodales determinan la misma diagonal, lo que da

6

posibilidades. Una es la diagonal dada y produce un caso degenerado, así que quedan

6-1=5

rectángulos. La respuesta correcta es E.

The given diagonal has midpoint

(0,0)

and half-length

5.

The other diagonal must therefore have endpoints

(u,v)

and

(-u,-v)

with

u^2+v^2=25.

Conversely, two equal diagonals with the same midpoint form a rectangle. There are

12

integer points on this circle:

\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3). \end{gathered}

Antipodal points determine the same diagonal, giving

6

possibilities. One is the given diagonal itself, which is degenerate, so

6-1=5

rectangles remain. Thus the correct answer is E.

El Problema 21 en otros años