1994 AMC 12 Problema 18

Question

El triángulo

ABC

está inscrito en un círculo, y

\angle B=\angle C=4\angle A.

Si

B

y

C

son vértices adyacentes de un polígono regular de

n

lados inscrito en este círculo, entonces

n=

Triangle

ABC

is inscribed in a circle, and

\angle B=\angle C=4\angle A.

If

B

and

C

are adjacent vertices of a regular polygon of

n

sides inscribed in this circle, then

n=

5

7

9

15

18

Respuesta: C

Conceptos:inscribed angles regular polygons

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Usa la suma de los ángulos del triángulo para hallar

\angle A

Use the triangle angle sum to find

\angle A

Pista grande:

El ángulo central que subtiende

\overline{BC}

es el doble de

\angle A

The central angle subtending

\overline{BC}

is twice

\angle A

Solución:

La suma de los ángulos da

9\angle A=180^\circ,

así que

\angle A=20^\circ.

Por tanto, el ángulo central que subtiende la cuerda

\overline{BC}

es

40^\circ.

Los vértices adyacentes de un

n

-gono regular subtienden un ángulo de

\frac{360^\circ}{n},

de modo que

\frac{360^\circ}{n}=40^\circ,

y

n=9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The angle sum gives

9\angle A=180^\circ,

so

\angle A=20^\circ.

The central angle subtending chord

\overline{BC}

is therefore

40^\circ.

Adjacent vertices of a regular

n

-gon subtend

\frac{360^\circ}{n},

so

\frac{360^\circ}{n}=40^\circ,

and

n=9.

Thus the correct answer is C.