1992 AMC 12 Problema 21

Question

Para una sucesión finita de números

A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

, la suma de Cesàro de

A

se define como

\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},

donde

\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}

Si la suma de Cesàro de la sucesión de

99

términos

(a_1,a_2,\ldots,a_{99})

es

1000,

¿cuál es la suma de Cesàro de la sucesión de

100

términos

(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})

?

For a finite sequence

A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

of numbers, the Cesàro sum of

A

is defined to be

\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},

where

\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}

If the Cesàro sum of the

99

-term sequence

(a_1,a_2,\ldots,a_{99})

is

1000,

what is the Cesàro sum of the

100

-term sequence

(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})?

991

999

1000

1001

1009

Respuesta: A

Conceptos:partial sums sequence transformation weighted average

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Convierte la primera suma de Cesàro en el valor de

S_1+\cdots+S_{99}

Convert the first Cesàro sum into the value of

S_1+\cdots+S_{99}

Pista grande:

Cada nueva suma parcial es

1

más una suma parcial anterior, y hay una suma parcial inicial igual a

1

Each new partial sum is

1

plus an old partial sum, with one initial partial sum equal to

1

Solución:

La condición dada afirma que

S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.

Para la nueva sucesión, las sumas parciales son

1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.

Su suma es

100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.

Al dividir entre

100

se obtiene la nueva suma de Cesàro

991.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The given condition says

S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.

For the new sequence, the partial sums are

1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.

Their sum is

100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.

Dividing by

100

gives the new Cesàro sum

991.

Thus the correct answer is A.