1992 AMC 12 Problema 18

Question

La sucesión creciente de enteros positivos

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

cumple, para todo

n\ge1,

a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.

Si

a_7=120,

entonces

a_8

es

The increasing sequence of positive integers

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

has the property that, for every

n\ge1,

a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.

If

a_7=120,

then

a_8

is

128

168

193

194

210

Respuesta: D

Conceptos:Fibonacci recurrence Diophantine equation increasing sequence

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Expresa

a_7

y

a_8

en función de

a_1

y

a_2

Write

a_7

and

a_8

in terms of

a_1

and

a_2

Pista grande:

A partir de

5a_1+8a_2=120,

usa congruencias y

a_2\gt a_1\gt0

From

5a_1+8a_2=120,

use congruences and

a_2\gt a_1\gt0

Solución:

Sean

a_1=a

y

a_2=b.

Al usar repetidamente la recurrencia se obtiene

\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}

Módulo

5,

la primera ecuación muestra que

b

es múltiplo de

5.

Las posibilidades positivas son

b=5,

b=10,

o

b=15.

Las condiciones

b\gt a\gt0

solo permiten

b=10

y

a=8.

Por tanto,

a_8=8(8)+13(10)=194.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

a_1=a

and

a_2=b.

Repeated use of the recurrence gives

\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}

Modulo

5,

the first equation shows that

b

is a multiple of

5.

The positive possibilities are

b=5,

b=10,

or

b=15.

The conditions

b\gt a\gt0

leave only

b=10

and

a=8.

Hence

a_8=8(8)+13(10)=194.

Thus the correct answer is D.