1988 AMC 12 Problema 20

Question

En una de las figuras adjuntas, un cuadrado de lado

2

se divide en cuatro piezas de modo que

E

y

F

sean los puntos medios de lados opuestos y

AG

sea perpendicular a

BF.

Las cuatro piezas pueden rearmarse en un rectángulo como muestra la segunda figura. La razón de la altura a la base,

\frac{XY}{YZ},

en este rectángulo es

In one of the adjoining figures a square of side

2

is dissected into four pieces so that

E

and

F

are the midpoints of opposite sides and

AG

is perpendicular to

BF.

These four pieces can then be reassembled into a rectangle as shown in the second figure. The ratio of height to base,

\frac{XY}{YZ},

in this rectangle is

4

1+2\sqrt3

2\sqrt5

\frac{8+4\sqrt3}{3}

5

Respuesta: E

Conceptos:dissection area preservation Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Halla

BF

y

DE

a partir del lado y de las condiciones de punto medio

Find

BF

and

DE

from the side length and midpoint conditions

Pista grande:

Usa el área invariable para determinar la base del rectángulo

Use the unchanged area to determine the rectangle’s base

Solución:

Tanto

BF

como

DE

tienen cambios horizontal y vertical de

1

y

2,

así que cada uno mide

\sqrt5.

Por tanto,

XY=BF+DE=2\sqrt5.

El rectángulo tiene área

4,

así que

YZ=\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}.

Por tanto,

\frac{XY}{YZ}=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Both

BF

and

DE

have horizontal and vertical changes

1

and

2,

so each has length

\sqrt5.

Thus

XY=BF+DE=2\sqrt5.

The rectangle has area

4,

so

YZ=\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}.

Therefore

\frac{XY}{YZ}=5.

Thus the correct answer is E.