1987 AMC 12 Problema 21

Question

Hay dos maneras naturales de inscribir un cuadrado en un triángulo rectángulo isósceles dado. Si se hace como en la Figura

1

de abajo, se obtiene que el área del cuadrado es

441\text{ cm}^2.

¿Cuál es el área (en

\text{cm}^2

) del cuadrado inscrito en el mismo

\triangle ABC

, como se muestra en la Figura

2

de abajo?

There are two natural ways to inscribe a square in a given isosceles right triangle. If it is done as in Figure

1

below, then one finds that the area of the square is

441\text{ cm}^2.

What is the area (in

\text{cm}^2

) of the square inscribed in the same

\triangle ABC

as shown in Figure

2

below?

378

392

400

441

484

Respuesta: B

Conceptos:similar triangles inscribed square area scaling

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Usa la Figura

1

para determinar la longitud de los catetos del triángulo rectángulo isósceles

Use Figure

1

to determine the leg length of the isosceles right triangle

Pista grande:

En la Figura

2,

compara el lado del cuadrado inclinado con los dos segmentos iguales que su lado opuesto determina sobre los catetos

In Figure

2,

compare the side of the tilted square with the two equal leg segments cut off by its opposite side

Solución:

El primer cuadrado tiene lado

21,

así que los catetos del triángulo tienen longitud

42.

Sea

s

el lado del cuadrado inclinado. Su lado sobre la hipotenusa es paralelo al lado opuesto que une los catetos. Ese lado opuesto tiene extremos

(0,k)

y

(k,0),

por lo que

s=k\sqrt2.

La distancia entre las rectas paralelas

x+y=k

y

x+y=42

también es

s,

de modo que

s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.

Por tanto,

s=14\sqrt2,

y su área es

s^2=392.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first square has side

21,

so the triangle’s legs have length

42.

Let

s

be the side of the tilted square. Its side on the hypotenuse is parallel to the opposite side joining the legs. That opposite side has endpoints

(0,k)

and

(k,0),

so

s=k\sqrt2.

The distance between the parallel lines

x+y=k

and

x+y=42

is also

s,

giving

s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.

Hence

s=14\sqrt2,

and its area is

s^2=392.

Thus the correct answer is B.