1987 AMC 12 Problema 18

Question

Se necesitan

A

libros de álgebra (todos del mismo grosor) y

H

libros de geometría (todos del mismo grosor, mayor que el de un libro de álgebra) para llenar por completo cierto estante. También

S

libros de álgebra y

M

libros de geometría llenarían el mismo estante. Por último,

E

libros de álgebra por sí solos llenarían este estante. Dado que

A,

H,

S,

M,

E

son enteros positivos distintos, se deduce que

E

es

It takes

A

algebra books (all the same thickness) and

H

geometry books (all the same thickness, which is greater than that of an algebra book) to completely fill a certain shelf. Also,

S

of the algebra books and

M

of the geometry books would fill the same shelf. Finally,

E

of the algebra books alone would fill this shelf. Given that

A,

H,

S,

M,

E

are distinct positive integers, it follows that

E

is

\frac{AM+SH}{M+H}

\frac{AM^2+SH^2}{M^2+H^2}

\frac{AH-SM}{M-H}

\frac{AM-SH}{M-H}

\frac{AM^2-SH^2}{M^2-H^2}

Respuesta: D

Conceptos:linear equations rates and mixtures algebraic elimination

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sean

a

y

g

los dos grosores de los libros y normaliza la longitud del estante a

1

Let

a

and

g

be the two book thicknesses and normalize the shelf length to

1

Pista grande:

Elimina el grosor del libro de geometría de

Aa+Hg=1

y

Sa+Mg=1

Eliminate the geometry-book thickness from

Aa+Hg=1

and

Sa+Mg=1

Solución:

Sea

1

la longitud del estante, y sean

a,g

los grosores de los libros de álgebra y de geometría. Entonces

\begin{aligned} Aa+Hg&=1,\\ Sa+Mg&=1,\qquad Ea=1. \end{aligned}

Al multiplicar la primera ecuación por

M,

la segunda por

H,

y restar, obtenemos

(AM-SH)a=M-H.

Por tanto,

E=\frac1a=\frac{AM-SH}{M-H}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the shelf length be

1,

and let

a,g

be the algebra- and geometry-book thicknesses. Then

\begin{aligned} Aa+Hg&=1,\\ Sa+Mg&=1,\qquad Ea=1. \end{aligned}

Multiplying the first equation by

M,

the second by

H,

and subtracting gives

(AM-SH)a=M-H.

Hence

E=\frac1a=\frac{AM-SH}{M-H}.

Thus the correct answer is D.