1955 AMC 12 Problema 20

Question

La expresión

\sqrt{25-t^2}+5

es igual a cero para:

The expression

\sqrt{25-t^2}+5

equals zero for:

ningún valor real ni imaginario de

t

no real or imaginary values of

t

ningún valor real de

t

solamente

no real values of

t

only

ningún valor imaginario de

t

solamente

no imaginary values of

t

only

t=0

t=\pm5

Respuesta: A

Conceptos:principal square root radical equation complex numbers

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Aísla el radical antes de hacer cualquier operación algebraica

Isolate the radical before doing any algebra

Pista grande:

Si elevas al cuadrado, comprueba cada candidato en la ecuación original porque el radical tiene un signo establecido

If you square, check every candidate in the original equation because the radical has a prescribed sign

Solución:

Para que la expresión se anule, se necesitaría

\sqrt{25-t^2}=-5.

El signo radical denota la raíz cuadrada principal. Esta es no negativa para un radicando real no negativo y, sobre los números complejos, se elige con parte real no negativa; por ello no puede ser igual a

-5.

Elevar al cuadrado introduciría el candidato extraño

t=0,

para el cual la expresión original vale

10.

Por lo tanto, ningún valor real ni imaginario funciona, y la respuesta correcta es A.

For the expression to vanish, one would need

\sqrt{25-t^2}=-5.

The radical sign denotes the principal square root. It is nonnegative for a nonnegative real radicand and, over the complex numbers, is chosen with nonnegative real part; it therefore cannot equal

-5.

Squaring would introduce the extraneous candidate

t=0,

for which the original expression is

10.

Thus, no real or imaginary value works, and the correct answer is A.